Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig und nur unter Verwendung der angegebenen Literatur und Hilfsmittel angefertigt habe.
Danksagung
Ich bedanke mich vor allem bei Frau Prof.Dr.-Ing. habil. D. Schipanski und meinem Betreuer, Herrn Dipl.-Ing. M. Roßberg, für die praktische und theoretische Unterstützung beim Zustandekommen dieser Arbeit.
Weiterer Dank gilt allen Mitarbeitern des Fachgebietes Festkörperelektronik, die es mir ermöglichten, die Bearbeitung des Themas in einer guten Arbeitsplatzatmosphäre durchzuführen.
In der vorliegenden Arbeit wurde ein Modellkonzept zur dynamischen Simulation überprüft, verbessert und erprobt. Als Grundlage des Modellkonzepts diente ein Verfahren zur eindimensionalen dynamischen Simulation. Dieses Modellkonzept wurde in (1) versucht umzusetzen, dabei traten jedoch Probleme auf die es nötig machten das Problem neu zu diskutieren. Die Ideen zur Aufstellung des dynamischen Modells basieren auf der Sinussoidal Steady- State Analyse (2).
Dabei wurden Ausdrücke zur Beschreibung des Basisstromes iB und des Kollektorstromes iC abgeleitet, die zur Berechnung der komplexen y-Parameter notwendig sind. Des weiteren wurden spezielle Randbedingungen an der Basis und am Kollektor angenommen und in den Devicesimulator HETRA implementiert.
Berechnet wurde ein Satz y-Parameter, der mit gemessenen y-Parametern verglichen wurde. Dieser Vergleich ist in den Abbildungen 6 bis 13 graphisch dargestellt. Die Parameter y11, y21 und y22 zeigen, daß es mit dem am Anfang vorgestellten und implementierten Modellapparat möglich ist, reale Transistorstrukturen zu beschreiben. Die Ursachen der Abweichung bei dem Parameter y12 sind bekannt und bilden somit einen Anknüpfungspunkt für weitere Untersuchungen. Anschließend wurde mit dem erstellten Algorithmus eine Betrachtung zu Strategien der Gittererzeugung durchgeführt.
Diese Berechnungen haben hauptsächlich gezeigt, daß die Einflüsse des Diskretisierungsgitters besonders bei hohen Frequenzen zu prozentualen Abweichungen bis 10% führen können. In der Arbeit wurden Möglichkeiten, mit Hilfe der berechneten Werte das Bauelement eingehender zu beschreiben, aufgezeigt. Hinweise zur zur Verbesserung des vorgestellten Modells wurden getroffen.
(1) Tschagaljan, “Implementierung von Kleinsignalmodellen in einen Bauelementesimulator”, Diplomarbeit, Technische Hochschule Ilmenau, 1992 (2) Laux, “Techniques for small-signal analysis of semiconductor devices”, IEEE Trans. on Elektron Devices, vol. ED-32, no. 10, Oct. 1985
In den vorhergehenden Abschnitten wurde ein Algorithmus zur Kleinsignalanalyse beschrieben, sowie Simulationen und Vergleiche mit gemessenen Kleinsignalparametern durchgeführt. In dem folgenden Kapitel werden anhand der Kleinsignalparameter Berechnungen vorgestellt bei denen verschiedene Strategien zur Erzeugung von Differenzengittern verfolgt wurden. Mittels des zu HETRA gehörenden Gittergenerators besteht die Möglichkeit, ein geeignetes Gitter zu erzeugen. Das erfolgt über eine geometrische Reihe, deren Rekursionsformel lautet:
hi – Abstand zwischen zwei Gitterpunkten k – Faktor für die geometrische Reihe
Damit soll erstens ermöglicht werden, daß die Anzahl der gesamten Gitterpunkte minimal wird und zweitens auch geringe Potentialänderungen (an Kontakten und pn-Übergängen) zwischen zwei benachbarten Gitterpunkten im Rahmen der Zahlendarstellung erfaßbar werden. Die numerische Genauigkeit muß hierbei stets größer sein als die auftretenden Potentialdifferenzen. Dabei ist das Gitter an den Stellen, an denen größere Änderungen der Potentiale zu erwarten sind hinreichend klein zu machen, um den Diskretisierungsfehler zu minimieren. In den Bahngebieten erfolgt eine Vergrößerung des Abstandes zwischen zwei benachbarten Gitterpunkten.
Abb. 14 schematische Darstellung des erzeugten Differenzengitters
Bei dem verwendeten Gitter handelt es sich um ein Kastenprofil mit dem bereits Simulationen durchgeführt wurden. Die Faktoren zur Manipulation der Gittererzeugung (2, 1.5, 1, 0.5, 0.25) bedeuten, daß eine Multiplikation des minimalen und maximalen Gitterpunktabstandes mit den Faktoren vorgenommen wurde. Mit diesen Gittern wurden jeweils die Ortskurven der y-Parameter (Abb. 15 bis 20) und statische Kennlinien berechnet. Bei den berechneten Kleinsignalparametern handelt es sich um Berechnungen für den inneren Transistor, d.h. ohne die in den vorhergehenden Kapiteln berücksichtigten Bahnwiderstände rC und rB der inaktiven Gebiete.
Aus den gewonnenen Kurven der Abbildungen 15 bis 20 ist zu erkennen, daß die Abweichungen, die aus der unterschiedlichen Feinheit des Differenzengitters resultieren, besonders im höheren Frequenzbereich (10 GHz) Unterschiede von 5-10% hervorrufen können. Als Bezugspunkt wurde hier das Gitter zugrunde gelegt in dem der Faktor der geometrischen Reihe mit 0.25 multipliziert wurde und an dem der geringste Diskretisierungsfehler zu erwarten ist. Hingegen sind die berechneten Abweichungen bei |y11| und |y12| und einer Frequenz von 3 GHz wesentlich geringer. Hier liegen die prozentualen Werte bei maximal 0.8% bei ansonsten unveränderten Bedingungen.
Aus den Darstellungen ist zu erkennen, daß wie erwartet die Abweichungen der Ortskurven mit der Verfeinerung geringer werden. Die Abstände der Kurven lassen den Schluß zu, daß mit der Feinheit des Gitters diese Verschiebungen immer geringer werden. Der Bezugspunkt hierbei ist der Gleiche wie oben angeführt. Die Abstände zwischen zwei benachbarten Punkten sind hier im Vergleich zu den anderen Gittern am geringsten, um den Diskretisierungfehler so klein wie möglich zu halten. Die statischen Kennlinien (Abb. 19 und 20) zeigen keine so starken Abhängigkeiten des Stromverlaufs von dem Differenzengitter. Bei der Kurve IB=f(UBE) ist im unteren Bereich eine Abhängigkeit vom verwendeten Differenzengitter zu erkennen. Alle Zusammenhänge sind jedoch hiermit noch nicht ausreichend beschrieben, dazu bedarf es noch weiterer Untersuchungen.
Abb. 15 Ortskurven von y11 bei unterschiedlicher Feinheit der Diskretisierungsgitter
Tab. 1 Einflüsse des Diskretisierungsgitters auf |y11| und proz. Abweichungen bei 3 GHz und 10 GHz
Abb. 16 Ortskurven von y12 bei unterschiedlicher Feinheit der Diskretisierungsgitter
Tab. 2 Einflüsse des Diskretisierungsgitters auf |y12| und proz. Abweichungen bei 3 GHz und 10 GHz
Abb. 17 Ortskurven von y21 bei unterschiedlicher Feinheit der Diskretisierungsgitter
Tab. 3 Einflüsse des Diskretisierungsgitters auf y21 und proz. Abweichungen bei 3 GHz und 10 GHz
Abb. 18 Ortskurven von y22 bei unterschiedlicher Feinheit der Diskretisierungsgitter
Tab. 4 Einflüsse des Diskretisierungsgitters auf y22 und proz. Abweichungen bei 3 GHz und 10 GHz
Abb. 19 Ib = f(UBE) bei unterschiedlicher Gitterverfeinerung
Abb. 20 Ib = f(UBE) bei unterschiedlicher Gitterverfeinerung
Tab. 5 Einflüsse des Diskretisierungsgitters auf Basis- und Kollektorstrom in Abhänigkeit von UBE (Gummelplot), und proz. Abweichungen
Die durchgeführten Berechnungen dienten als erstes zur Überprüfung des vorgestellten Modellkonzepts zur Kleinsignalanalyse. Darauffolgend wurde ein Vergleich mit an Proben gemessenen Werten vorgenommen. Diese wurden von der Ruhr Universität Bochum vorgenommen und lagen als Datenfile auf einer Diskette vor. Gemessen wurden die Werte an der Probe B 2136. Die Abbildungen 5 bis 7 zeigen in einer Gegenüberstellung von gemessenen und simulierten Werten die Ortskurven der Kleinsignalparameter y11, y21, y12 und y22. Die Ortskurvendarstellung ist vorteilhaft, um sich einen schnellen Überblick über die Frequenzabhängigkeit der Vierpolparameter verschaffen zu können.
Da die Messungen in Kollektorschaltung vorgenommen werden müssen, wurden die simulierten Werte in die entsprechende Schaltungsart umgerechnet. In einer vorher durchgeführten statischen Berechnung wurde ein statischer Arbeitspunkt eingestellt bei dem fT maximal wird. Als Basis- Kollektorspannung (UBC) wurde -1V eingestellt. Der dargestellte Frequenzbereich von Messung und Simulation erstreckt sich von 130 MHz bis 19,99 Ghz.
Der Parameter y11 (Abb. 6) spiegelt das Verhältnis von Basisstrom zur Änderung der Basis- Emitterspannung wieder. Betragsmäßig beschreibt dieser Parameter mit anwachsender Frequenz einen steigenden Verlauf. Der Schnittpunkt der Ortskurve mit der reellen Koordinatenachse gibt die Größe des am Eingang liegenden Basisbahnwiderstandes wieder. Die Kurzschlußsteilheit y21 (Abb.7) wird mit zunehmender Frequenz vom Betrag her kleiner. Vor allem die Tatsache, daß die Ladungsträgeränderung im Transistor der hohen Frequenz nicht mehr folgen kann, ist hiermit verbunden. Der Schnittpunkt der Ortskurve von y21 bei f≈0 wird maßgeblich durch den Emitterwiderstand RE bestimmt. Die Parameter y11 und y21 werden stets von der inneren Transistorwirkung bestimmt und durch äußere Elemente (Sperrschichtkapazität, parasitäre Widerstände und Kapazitäten) nur modifiziert.
Der Parameter y12 (Abb. 8) zeigt im oberen Frequenzbereich eigentlich überhaupt keine Übereinstimmung mit den gemessenen Werten, da dieser Parameter bei hohen Frequenzen jedoch von der Basis- Kollektorkapazität bestimmt wird, ist somit auch die große quantitative Abweichung im oberen Frequenzbereich erklärbar. Diese Rückkoppelkapazität besonders in den elektronisch inaktiven Teilen des Transistors ist bisher im Modell nicht vollständig berücksichtigt. Es handelt sich hierbei um die in Abbildung 1 dargestellten Kapazitäten die nicht unmittelbar unter dem elektronisch aktiven Teil des Emitters liegen. Eine Erfassung in einem eindimensionalen Modell ist durch den verteilten Charakter dieser parasitären Kapazität schwer möglich. Eine bessere Möglichkeit erhält man bei der Implementierung des vorgestellten Modells in einen 2D- Devicesimulator. Im Bild 9 ist Lage der Basis-Kollektorkapazität noch einmal schematisch dargestellt.
cCB – Basis- Kollektorkapazität
Abb. 5 schematische Darstellung der Basis- Kollektorkapazität
Der Parameter y22 (Abb. 9) beschreibt das Verhältnis von Kollektorstrom zur Änderung der Emitter- Kollektorspannung und wird ebenso wie y12 bei sehr hohen Frequenzen zum großen Teil von parasitären Elementen bestimmt. Die Abbildungen 10 bis 13 sollen einen Vergleich der gemessenen und berechneten Parameter hinsichtlich ihres Betrages in Abhängigkeit von der Frequenz ermöglichen und die zuvor diskutierten Sachverhalte unterstreichen.
Abb. 6 Ortskurve von y11c bei Ucb = -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB= 31Ω ; RC = 4,5Ω; IE= 25 mA
Abb. 7 Ortskurve von y21c bei Ucb = -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB= 31Ω; RC = 4,5Ω; IE= 25 mA
Abb. 8 Ortskurve von y12c bei Ucb= -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB = 31Ω; RC = 4,5Ω; IE= 25 mA
Abb. 9 Ortskurve von y22c bei Ucb= -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB = 31Ω; RC = 4,5Ω; IE= 25 mA
Abb. 10 Betrag von y11 = f(f), Ucb= -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB = 31 ; RC = 4,5Ω; IE= 25 mA
Abb. 11 Betrag von y12 = f(f), Ucb= -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB= 31 ; RC = 4,5Ω; IE= 25 mA
Abb. 12 Betrag von y21 = f(f), Ucb= -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB = 31 ; RC = 4,5Ω; IE= 25 mA
Abb. 13 Betrag von y22 = f(f), Ucb= -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB = 31 ; RC = 4,5 ; IE= 25 mA
In der Einleitung wurde darauf verwiesen, daß in (1) versucht wurde, einen Algorithmus der auf der Sinussoidal Steady- State Analysis basiert, in den Devicesimulator HETRA zu implementierten. Es wurde dabei ein FORTRAN- Programm zur Berechnung der Kleinsignalparameter y11 und y21 erstellt. FORTRAN erschien vorteilhaft, da hier mit dem standartmäßigen FORTRAN-COMPLEX Zahlentyp operiert werden konnte. Durch die Verwendung des FORTRAN-COMPLEX Zahlentypes war die Genauigkeit in der Zahlendarstellung auf sechs Mantissenstellen beschränkt.
Änderungen der Potentialdifferenzen zwischen zwei benachbarten Punkten des Differenzengitters, die in der sechsten und siebenten Stelle auftraten blieben unberücksichtigt. SiGe- HBTs mit hochdotierten Basen (NB ≥ 1019/cm3), in denen sehr niedrige Potentialdifferenzen zwischen benachbarten Punkten auftreten, konnten mit dem implementierten Modell aus (1) nicht berechnet werden. Es wurde vermutet, daß die Ursache hierfür das Diskretisierungsgitter ist. So müßte eine Vergrößerung des Gitterpunktabstandes die Potentialdifferenzen zwischen den Gitterpunkten erfaßbar machen.
Überprüfung
Nach einigen Berechnungen und verschiedenen Literaturstudien zeigte sich jedoch, daß mit einer Gittervergröberung die Diskretisierungsfehler stark zunehmen und somit der gewünschte Effekt nicht eintritt. Aus diesem Grunde wurde in dieser Arbeit zuerst mit einer Neuimplementierung eines vollständigen Modellkonzeptes zur Kleinsignalanalyse begonnen bei dem die oben angeführten Mängel beseitigt wurden. Anschließend werden die Einflüsse der jeweilig verwendeten Struktur des Differenzengitters auf die Ergebnisse der statischen Berechnung und der Kleinsignalanalyse untersucht (Kapitel 6.2).
Der in vorhergehenden Kapiteln beschriebene Formelapparat einschließlich der Randbedingungen für den dynamischen Fall wurde in ein C-Programm portiert. C bot sich an, da bereits Teile des Simulators HETRA in C geschrieben bzw. portiert wurden. Da es in der hier verwendeten Programmiersprache C keinen vorgesehenen Datentyp für komplexe Zahlen gab ist es aus Gründen des besseren programmtechnischen Umgangs vorteilhaft gewesen, eine Bibliothek mit speziellen Rechenoperationen für komplexe Zahlen anzulegen.
Als Wichtigstes beinhaltet diese Bibliothek eine Typdefinition für den Datentyp COMPLX. Dieser ist zusammengesetzt aus einem Realteil (.REAL) und einem Imaginärteil (.IMAG) die beide als DOUBLE definiert sind und zusammen eine komplexe Zahl darstellen. Auf diese Weise erhält man eine wesentlich höhere Genauigkeit des Zahlenformats (bis zu 15 Mantissenstellen möglich).
Weiterhin beinhaltet sind in der Bibliothek Rechenoperationen für komplexe Zahlen. Das sind neben den vier Grundrechenarten, die Exponentialfunktion sowie die Betragsbildung und Umwandlung in die Eulersche Form einer komplexen Zahl. Diese Komplexbibliothek wurde in den Bauelementesimulator HETRA aufgenommen. Aufgrund der höheren Genauigkeit in der Zahlendarstellung ist es nun möglich geworden, die Mängel aus (2) zu beseitigen.
Impementierung
Der Lösungsalgorithmus wurde komplett in den bestehenden Devicesimulator HETRA integriert. Für den Fall der Kleinsignalanalyse erfolgt zuerst die Einstellung eines stationären Arbeitspunktes. Im Anschluß daran beginnt die Aufstellung des Gleichungssystems für die dynamische Analyse.
Der Gaußalgorithmus der hier zum Lösen verwendet wird, wird einmal durchlaufen. Am Ende dieser Berechnungen erhält man den Kleinsignallösungsvektor ΦAC. Dann erfolgt die Berechnung des Basisstromes und des Kollektorstromes entsprechend dem im folgenden Kapitel beschriebenen Weg. Daran anschließend werden die Kleinsignalparameter (z.B. Leitwertparameter) für den eingestellten Arbeitspunkt berechnet und ausgegeben.
Für die graphische Darstellung wurde das Programm SPICE benutzt. Um die aus dem Simulator kommenden Daten dort weiter verarbeiten zu können, ist die Erstellung einer Konvertierungsroutine nötig gewesen. Die implementierten Routinen sind beliebig erweiterungsfähig ebenso alle erstellten Macros und Zusatzprogramme. Die aus den Berechnungen hervorgegangenen Werte sind in Kapitel 6.1 erläutert und graphisch dargestellt.
(1) Tschagaljan, “Implementierung von Kleinsignalmodellen in einen Bauelementesimulator”, Diplomarbeit, Technische Hochschule Ilmenau, 1992
(2) Tschagaljan, “Implementierung von Kleinsignalmodellen in einen Bauelementesimulator”, Diplomarbeit, Technische Hochschule Ilmenau, 1992
Als Ausgangspunkt für die Berechnung der y-Parameter dienen die Definitionsgleichungen (5.7.1) und (5.7.2). Mit deren Hilfe ist es möglich, das in Abbildung 3 dargestellte Kleinsignalersatzschaltbild aufzustellen:
Abb. 3 Kleinsignalersatzschaltbild für die y-Parameter in Emitterschaltung
Bei der Berechnung der Stromverstärkung wurde bei der Implementierung in den Bauelementesimulator HETRA von der allgemein bekannten Beziehung ausgegangen:
Die Berechnung des Basisstromes wird auf die Kontinuitätsgleichung der Löcher, in der die Stromdichte bereits enthalten ist, zurückgeführt:
Im Frequenzbereich sieht die diskretisierte Form von (5.6.2) wie folgt aus:
Diese Gleichung (5.6.3) wird linearisiert und das Störglied der Gleichung am Basiseinspeisungspunkt beschreibt die Basisstromdichte.
Multipliziert man die Basisstromdichte mit der für das jeweilige Dotierungsprofil gegebenen Emitterfläche erhält man den Basisstrom iB.
Bei der Berechnung der Kollektorstromdichte müssen zur vollständigen Beschreibung die Beträge der Elektronenstromdichte und der Löcherstromdichte berücksichtigt werden:
mit
Bei der Berechnung der Elektronenstromdichte und der Löcherstromdichte mittels der aufgestellten Gleichungen (5.6.6) und (5.6.7) werden die Formeln (5.2.4) und (5.2.6) aus dem Kapitel 5.2 verwendet. Diese Formeln ((5.6.6) und (5.6.7)) wurden teilweise ergänzt und anschließend neu in den Bauelementesimulator HETRA implementiert. Den Kollektorstrom erhält man, indem man die Änderung der Kollektorstromdichte mit der für das jeweilige Dotierungsprofil gegebenen Emitterfläche multipliziert.
Bei der Berechnung des Eingangskurzschlußleitwertes (y11) und der Kurzschlußsteilheit (y21) werden die Kleinsignalpotentiale am Emitter und Kollektor Null gesetzt, so daß zwischen diesen beiden Punkten eine feste Gleichspannung existiert. Bei der Berechnung von y12 und y22 bleiben hingegen die Kleinsignalpotentiale an Basis und Emitter auf Null. Am eindimensionalen Modell erfolgt die Basispotentialeinprägung über das Quasifermipotential der Majoritätsträger φp. Aufgrund der Potentialeinprägung werden die Poissongleichung und die beiden Kontinuitätsgleichungen am Basiseinspeisungspunkt gestört. Die Kontinuitätsgleichung der Löcher (5.4.10) wird darüber hinaus zusätzlich am Punkt vor und nach dem Basiseinspeisungspunkt gestört. Die Basis erhält eine Kleinsignalspannung aufgeprägt. Als Quasifermipotential der Majoritätsträger wird ein Kleinsignalrandpotential von beliebiger Größe (lineares Gleichungssystem) verwendet, z.B. uBE = 1xUT + 0xj, und in die Halbleitergrundgleichnungen (5.4.1) – (5.4.3) eingesetzt (1).
mit φpiB = uBE
(1) Gokhale, “Numerical solutions for a one dimensional Silicon npn-transistor”, IEEE Trans. on Elektron. Devices, vol. ED-17, no. 8, Aug. 1970
Die Gleichungen (5.5.1) – (5.5.5) stellen die Randbedingungen am Basiseinspeisungspunkt für eine uBE Einspeisung dar. Sie wurden im Verlauf der Arbeit in den Simulator HETRA aufgenommen. f ist hierbei als eine Störfunktion für das Gleichungssystem (5.4.11) zu betrachten. Für die Berechnung der gesamten y – Parameter sind außerdem kollektorseitig Randbedingungen festzulegen.
Die Randbedingungen (5.5.6) – (5.5.8) beschreiben die Einprägung einer Kleinsignalspannung an der Kollektorseite des Modells.
Es handelt sich hierbei, ähnlich den Basisrandbedingungen um eine Störfunktion, die in das zu lösende Gleichungssystem eingesetzt wird. Voraussetzung ist hierbei die Annahme, dass es sich beim Kollektorkontakt um einen idealen ohmschen Kontakt im thermodynamischen Gleichgewicht handelt, für den folgende Beziehung gilt: Δφn = Δφp = Δψ = uCE. Mit Hilfe dieses vorgestellten und implementierten Modells lassen sich verschiedene Berechnungen im dynamischen Fall durchführen. Als Kleinsignalspannung am Kollektor kann ebenfalls ein Kleinsignalpotential beliebiger Größe verwendet werden.
Im Kleinsignalfall bleibt die Poisson Gleichung unverändert. Die Kontinuitätsgleichungen erweitern sich jeweils um die hinzukommenden Terme dn/dt bzw. dp/dt. Das zu lösende Gleichungssystem erhält dann folgende Form:
(1) Poissongleichung
Poissongleichung
(2) Kontinuitätsgleichung der Elektronen
(3) Kontinuitätsgleichung der Löcher
Die drei Halbleitergrundgleichungen werden mit Hilfe der Laplacetransformation in den Frequenzbereich überführt. Die Form der diskretisierten Poissongleichung ändert sich nicht, die Potentiale und auch die Quasifermipotentiale werden dabei jedoch komplexe Größen. Im Kleinsignalfall ist es möglich, die Gleichungen (5.4.2) und (5.4.3) nach dem folgenden hier beschriebenen Schema zu linearisieren:
Kontinuitätsgleichung der Elektronen (im Zeitbereich)
Man kann die beiden ersten Terme wie folgt zusammenfassen und für kleine Amplituden von φAC linearisieren:
hierbei sind φAC(t) die Kleinsignalpotentiale an den einzelnen Gitterpunkten im dynamischen Fall. (A)DC stellt die Funktionalmatrix für den gelösten statischen Fall (Arbeitspunkt) dar. Der Index AC soll kenntlich machen, daß es sich hier um das Gleichungssystem im dynamischen Fall handelt. DC steht wiederum für den statischen Fall. Die Elektronendichte n wird als Funktion des Gleich- und Kleinsignalanteils dargestellt, wobei die Potentiale auf UT normiert sind.
nDCj – stationäre Ladungsträgerdichte
ergibt sich
Für kleine Signale kann man die Exponentialfunktion linearisieren: ex → 1+x
Nach der Anwendung der Laplacetransformation erhält man die linearisierte Kontinuitätsgleichung der Elektronen im Frequenzbereich:
Die Linearisierung der Kontinuitätsgleichung der Löcher wird analog durchgeführt:
Aus Gleichung (5.4.10) ergibt sich nach dem Ausklammern der Potentiale die Funktionalmatrix für den dynamischen Fall (A)AC.
Die Elemente dieser Matrix stehen in folgender Beziehung zu denen im stationären Fall,
Berücksichtigt werden müssen außerdem die in die Berechnung eingehenden Randbedingungen basis- und kollektorseitig (Kap. 5.5). Wie im statischen Fall kann man das entstandene Gleichungssystem zusammenfassen zu:
Der erste Term auf der rechten Seite beinhaltet als Störfunktion die Randbedingungen für das Gleichungssystem. Die Gleichung (5.4.11) wurde in den Devicesimulator HETRA implementiert und nach dem beschriebenen Algorithmus gelöst. Bei der Berechnung des Gleichungssystems (5.4.11) wird der Lösungsalgorithmus einmal durchlaufen und als Ergebnis erhält man φAC als Kleinsignallösungsvektor (1). Der Unterschied der (A)AC– Matrix zur (A)DC – Matrix resultiert aus den Termen, die durch die transformierten Zeitableitungen entstehen. Diese Veränderungen treten nur bei den Hauptdiagonalelementen der Funktionalmatrix auf:
Der berechnete Kleinsignallösungsvektor φAC dient als der Ausgangspunkt der weiteren Betrachtungen des dynamischen Verhaltens von SiGe- Heterobipolartransistoren.
(1) Gokhale, “Numerical solutions for a one dimensional Silicon npn-transistor”, IEEE Trans. on Elektron. Devices, vol. ED-17, no. 8, Aug. 1970
Diese 3(k-2) diskretisierten Grundgleichungen ((5.2.1)-(5.2.3)), wobei k die Anzahl der Gitterpunkte ist, werden mittels eines Iterationsalgorithmus gelöst und dazu in die folgende Form gebracht:
l = 2 für die Kontinuitätsgleichung der Elektonen,
l = 3 für die Kontinuitätsgleichung der Löcher.
Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt nach dem Newton- Raphson- Verfahren. An dieser Stelle erfolgt nur eine Darstellung der Grundzüge dieser Methode. Das Verfahren ist in [19] ausführlich beschrieben.
Entwickelt man Gleichung (5.3.1) in eine Taylorreihe und bricht diese Entwicklung nach dem linearen Glied ab, so erhält man:
(A)DC – Jacobi-Matrix,
der Index DC soll verdeutlichen das es sich um das Gleichungssystem für den statischen Fall handelt. Mit:
Ψ- Potential,
φn – Quasifermipotential der Elektronen,
φp – Quasifermipotential der Löcher.
Nachfolgend ist der Aufbau der Jacobi-Matrix dargestellt:
Die Funktionalmatrix besteht aus einer Hauptdiagonalen h und zwei Nebendiagonalen p, s. Derartige Gleichungssysteme erlauben es, den Rechenaufwand zum Bestimmen der Unbekannten erheblich zu verringern. Die allgemeine i-te Gleichung enthält nur die Unbekannten Δφi-1, Δφi und Δφi+1.
Der Lösungsalgorithmus
Selbst große tridiagonale Gleichungssysteme lassen sich mit dem Gaußschen Algorithmus in vertretbarer Zeit lösen. Weitergehende Ausführungen zum Lösungsalgorithmus sind in der Literatur (1) zu finden.
Die Elemente der Hauptdiagonale sind die Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt nach dem jeweiligen Potential:
Die Elemente p12, p13, p23, p32, s12, s13, s23 und s32 sind gleich Null, da in der Funktionalmatrix nur die Elemente besetzt sind, die partielle Ableitungen nach dem zentralen oder den beiden Nachbarpunkten besitzen.
Man beginnt bei der Berechnung mit einem Startvektor, dessen Elemente aus der Dotierung (1) oder aus der Lösung für einen anderen Arbeitspunkt bestimmt werden können. Man setzt den Startvektor in das Gleichungssystem (5.3.2) ein und stellt es nach dem Korrekturvektor ΔφDC um. Anschließend wird dieser Korrekturvektor zur Startlösung addiert.
Φ0(Ψ0,φn0,φp0) – Startvektor,
Φ0(m+1) – verbesserte Lösung,
ΔΦDC – Korrekturvektor,
m – Iterationsschritt.
Auf diesem Weg erhält man eine verbesserte Lösung, mit Hilfe derer man das ursprüngliche Gleichungssystem (5.3.1) erneut lösen kann. Dabei erhält man wieder einen Korrekturvektor. Wiederholt wird dieser Vorgang solange bis der Korrekturvektor einem Abbruchkriterium (z.B. ε< 1×10-1) genügt.
(1) M. Roßberg, “Kurzbeschreibung des Bauelementesimulators HETRA1”, Technische Hochschule Ilmenau, 1991
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