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Diplomarbeit Modellkonzept

Kleinsignalfall

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5.4 Der Kleinsignalfall

Im Kleinsignalfall bleibt die Poisson Gleichung unverändert. Die Kontinuitätsgleichungen erweitern sich jeweils um die hinzukommenden Terme dn/dt bzw. dp/dt. Das zu lösende Gleichungssystem erhält dann folgende Form:

(1) Poissongleichung

Poissongleichung
Poissongleichung

(2) Kontinuitätsgleichung der Elektronen

Kontinuitätsgleichung der Elektronen

(3) Kontinuitätsgleichung der Löcher

Kontinuitätsgleichung der Löcher

Die drei Halbleitergrundgleichungen werden mit Hilfe der Laplacetransformation in den Frequenzbereich überführt. Die Form der diskretisierten Poissongleichung ändert sich nicht, die Potentiale und auch die Quasifermipotentiale werden dabei jedoch komplexe Größen. Im Kleinsignalfall ist es möglich, die Gleichungen (5.4.2) und (5.4.3) nach dem folgenden hier beschriebenen Schema zu linearisieren:

Kontinuitätsgleichung der Elektronen (im Zeitbereich)

Kontinuitätsgleichung der Elektronen (im Zeitbereich)

Man kann die beiden ersten Terme wie folgt zusammenfassen und für kleine Amplituden von φAC linearisieren:

für kleine Amplituden

hierbei sind φAC(t) die Kleinsignalpotentiale an den einzelnen Gitterpunkten im dynamischen Fall. (A)DC stellt die Funktionalmatrix für den gelösten statischen Fall (Arbeitspunkt) dar. Der Index AC soll kenntlich machen, daß es sich hier um das Gleichungssystem im dynamischen Fall handelt. DC steht wiederum für den statischen Fall. Die Elektronendichte n wird als Funktion des Gleich- und Kleinsignalanteils dargestellt, wobei die Potentiale auf UT normiert sind.

Elektronendichte n wird als Funktion des Gleich- und Kleinsignalanteils

nDCj – stationäre Ladungsträgerdichte

ergibt sich

stationäre Ladungsträgerdichte

Für kleine Signale kann man die Exponentialfunktion linearisieren: ex → 1+x

Für kleine Signale kann man die Exponentialfunktion linearisieren

Nach der Anwendung der Laplacetransformation erhält man die linearisierte Kontinuitätsgleichung der Elektronen im Frequenzbereich:

linearisierte Kontinuitätsgleichung der Elektronen im Frequenzbereich

Die Linearisierung der Kontinuitätsgleichung der Löcher wird analog durchgeführt:

Funktionalmatrix

Aus Gleichung (5.4.10) ergibt sich nach dem Ausklammern der Potentiale die Funktionalmatrix für den dynamischen Fall (A)AC.

Gleichungssystem

Die Elemente dieser Matrix stehen in folgender Beziehung zu denen im stationären Fall,

(piAC)=(piDC), (siAC)=(siDC), (hiAC)= siehe Gleichung (5.4.13).

Berücksichtigt werden müssen außerdem die in die Berechnung eingehenden Randbedingungen basis- und kollektorseitig (Kap. 5.5). Wie im statischen Fall kann man das entstandene Gleichungssystem zusammenfassen zu:

Image

Der erste Term auf der rechten Seite beinhaltet als Störfunktion die Randbedingungen für das Gleichungssystem. Die Gleichung (5.4.11) wurde in den Devicesimulator HETRA implementiert und nach dem beschriebenen Algorithmus gelöst. Bei der Berechnung des Gleichungssystems (5.4.11) wird der Lösungsalgorithmus einmal durchlaufen und als Ergebnis erhält man φAC als Kleinsignallösungsvektor (1). Der Unterschied der (A)AC– Matrix zur (A)DC – Matrix resultiert aus den Termen, die durch die transformierten Zeitableitungen entstehen. Diese Veränderungen treten nur bei den Hauptdiagonalelementen der Funktionalmatrix auf:

Funktionalmatrix

Der berechnete Kleinsignallösungsvektor φAC dient als der Ausgangspunkt der weiteren Betrachtungen des dynamischen Verhaltens von SiGe- Heterobipolartransistoren.

(1) Gokhale, „Numerical solutions for a one dimensional Silicon npn-transistor“, IEEE Trans. on Elektron. Devices, vol. ED-17, no. 8, Aug. 1970

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Kleinsignalrandbedingungen

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5.5 Kleinsignalrandbedingungen

Bei der Berechnung des Eingangskurzschlußleitwertes (y11) und der Kurzschlußsteilheit (y21) werden die Kleinsignalpotentiale am Emitter und Kollektor Null gesetzt, so daß zwischen diesen beiden Punkten eine feste Gleichspannung existiert. Bei der Berechnung von y12 und y22 bleiben hingegen die Kleinsignalpotentiale an Basis und Emitter auf Null. Am eindimensionalen Modell erfolgt die Basispotentialeinprägung über das Quasifermipotential der Majoritätsträger φp. Aufgrund der Potentialeinprägung werden die Poissongleichung und die beiden Kontinuitätsgleichungen am Basiseinspeisungspunkt gestört. Die Kontinuitätsgleichung der Löcher (5.4.10) wird darüber hinaus zusätzlich am Punkt vor und nach dem Basiseinspeisungspunkt gestört. Die Basis erhält eine Kleinsignalspannung aufgeprägt. Als Quasifermipotential der Majoritätsträger wird ein Kleinsignalrandpotential von beliebiger Größe (lineares Gleichungssystem) verwendet,
z.B. uBE = 1xUT + 0xj, und in die Halbleitergrundgleichnungen (5.4.1) – (5.4.3) eingesetzt (1).

Halbleitergrundgleichnungen
Halbleitergrundgleichnungen
Halbleitergrundgleichnungen
Halbleitergrundgleichnungen
Halbleitergrundgleichnungen

mit φpiB = uBE

(1) Gokhale, „Numerical solutions for a one dimensional Silicon npn-transistor“, IEEE Trans. on Elektron. Devices, vol. ED-17, no. 8, Aug. 1970

Die Gleichungen (5.5.1) – (5.5.5) stellen die Randbedingungen am Basiseinspeisungspunkt für eine uBE Einspeisung dar. Sie wurden im Verlauf der Arbeit in den Simulator HETRA aufgenommen. f ist hierbei als eine Störfunktion für das Gleichungssystem (5.4.11) zu betrachten. Für die Berechnung der gesamten y – Parameter sind außerdem kollektorseitig Randbedingungen festzulegen.

Randbedingungen
Randbedingungen
Randbedingungen

Die Randbedingungen (5.5.6) – (5.5.8) beschreiben die Einprägung einer Kleinsignalspannung an der Kollektorseite des Modells.

Es handelt sich hierbei, ähnlich den Basisrandbedingungen um eine Störfunktion, die in das zu lösende Gleichungssystem eingesetzt wird. Voraussetzung ist hierbei die Annahme, dass es sich beim Kollektorkontakt um einen idealen ohmschen Kontakt im thermodynamischen Gleichgewicht handelt, für den folgende Beziehung gilt: Δφn = Δφp = Δψ = uCE. Mit Hilfe dieses vorgestellten und implementierten Modells lassen sich verschiedene Berechnungen im dynamischen Fall durchführen. Als Kleinsignalspannung am Kollektor kann ebenfalls ein Kleinsignalpotential beliebiger Größe verwendet werden.

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CSS Elemente mit float positionieren

Kleines Beispiel zur Positionierung von Bildern und Text mit der Eigenschaft float. Insbesondere das Verhalten von Bildern im Textfluß werde ich hier darstellen. Die Codebeispiele könnt ihr zum Testen und üben hernehmen. Also dann: „Lorem ipsum“.

Beispiel 1 enthält etwas Content und ein Bild. Zu sehen ist die bekannte Positionierung mit entsprechendem Hintergrund, um es sichtbar zu gestalten:

Beispiel 1
Beispiel 1

Hier der entsprechende Code dazu.

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CSS Box Model – kollabierende Abstände

Horizontal

Stehen zwei Boxen nebeneinander so addieren sich die Außenabstände.

Hat eine Box einen Außenabstand von 50px rechts und eine zweite Box einen Außenabstand von 50px nach links so beträgt der Abstand der zwei Boxen 100px voneinander entfernt.

Vertikal

Sind zwei Boxen übereinander angeordnet, so wird der kleinere der beiden Abstände ignoriert.

Hat eine Box einen unteren Außenabstand von 50px und eine zweite Box einen oberen Außenabstand von 50px so beträgt der Abstand der zwei Boxen 50px.

kollabierende vertikale Abstände
kollabierende vertikale Abstände

Ausnahmen

Es gibt Fälle in denen die Außenabstände nicht kollabieren. Das trifft bei Elementen wie

overflow, float, position, display

zu. Probleme entstehen in bezogen auf das CSS Box Model besonders bei Boxen mit Angaben in Prozent.

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CSS Box Model am Beispiel

Zu einem Test habe ich euch hier den Code einer HTML Datei eingestellt. Das ist nur ein Grundaufbau, ohne Schnick-Schnack.

Die Darstellung verdeutlicht wie die Boxen positioniert werden und welche Abstände gültig werden.

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN" 
    "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="de" lang="de">
    <head>
        <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
        <title>Das CSS Box Model</title>
        <link type="text/css" rel="stylesheet" media="screen" href="design.css" />
    </head>
    <body>
        <h1 id="title">Das CSS Box Model</h1>
        <div id="content">
            <h2>Anfang</h2>
            <div class="box_1">Box 1</div>
            <div class="box_2">Box 2</div>
        </div>
    </body>
</html>

Zum Ausprobieren gibt es hier auch die dazugehörige CSS Datei als Code. Hiermit könnt ihr euch mit dem CSS Box Model vertraut machen und durch etwas probieren die Effekte selbst erzeugen.

* {
    margin: 0px;
    padding: 0px;
    border: none;
}
html {
    background-color: #FFFFFF;
    color: #111111;
    font-family: Tahoma, Arial, sans-serif;
}
#title {
    background-color: #a2b3c4;
    height: 170px;
    text-align: center;
    padding: 10px;
}
#content {
    margin: 10px;
	padding: 10px;
	background-color: yellow;
}
#content h2 {
    color: #111111;
	margin: 100px;
	padding: 50px;
	max-width: 200px;
	background-color: #22C563;
	border: 5px solid #222222;
}
.box_1 {
	margin: 100px;
	padding: 50px;
	max-width: 200px;
	background-color: #11C563;
	border: 5px solid #888888;
}
.box_2 {
    margin: 100px;
	padding: 50px;
	max-width: 200px;
	background-color: #CDC563;
	border: 5px solid #222222;
}

Hier unten noch ein Screenshot dessen, was die HTML und CSS Datei an Ausgabe erzeugt.

CSS Box Model Beispiel
CSS Box Model Beispiel

Viel Erfolg!

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Stylesheets

CSS Box Model erklärt

Mit dem Box Model wird festgelegt welche CSS Angaben zur Bestimmung der Größe einer HTML Box relevant sind.

Wir haben einmal den Inhalt einer Box, bestimmt durch width und height.

Dazu kommen Werte für den Innenabstand, Rahmen und Außenabstand. Ich denke das schafft die meiste Verwirrung.
Aus dem Grund habe ich das noch einmal grafisch dargestellt.

Der äußere schwarze Rand stellt die gesamte Box dar.

Das Box Model in CSS
Das Box Model in CSS

Ein Festlegung von:

.meinebox {
width: 100px;
height: 50px;
padding: 10px;
border: 5px;
margin: 10px;
}

erzeugt einen effektive Breite der definierten Box von 150px.

Padding, Border und Margin gelten sowohl für rechts als auch für links.

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Aufbau und Wirkungsweise Diplomarbeit

Aufbau von Heterojunction Bipolartransistoren

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2.2 Aufbau von Heterojunction Bipolartransistoren

In der Abbildung 1 ist ein typischer Aufbau eines SiGe-HBT schematisch dargestellt.

Der schematische Querschnitt eines SiGe-HBTs

Abb. 1 Der schematische Querschnitt eines SiGe-HBTs

Wie auch aus der Abbildung 1 zu ersehen ist, besteht die Basis aus einer hochdotierten SiGe- Schicht, während Emitter und Kollektor aus Si- Schichten bestehen. An einem vereinfachten Bändermodell eines np- Si/SiGe- Übergangs läßt sich die Wirkung des Heteroübergangs verdeutlichen.

Bändermodell eines np- Si/SiGe- Übergangs

Abb. 2 Bändermodell eines np- Si/SiGe- Übergangs

Wie aus der Abbildung 2 zu ersehen ist, besitzt die SiGe- Schicht einen geringeren Band-abstand als die Si- Schicht. Dies ist die Ursache für die Entstehung einer Bandgapdifferenz ΔEg, die dann entsprechend der Gleichung (2.1.8) die Stromverstärkung BN beeinflussen kann. Aus der Abbildung 2 ist ebenfalls zu erkennen, daß die Potentialbarriere, die die Löcher in ihrer Transportwirkung behindert größer ist, als die Potentialbarriere für die Elektronen. Die Werte für EC sind sehr klein und bisher zu ungenau, so daß allgemein ΔEg=ΔEV gesetzt wird. Im Vergleich zu einem konventionellen Bipolartransistor kann der Emitterwirkungsgrad eines SiGe- Heterobipolartransistors durch geeignete Dotierungsverhältnisse wesentlich verbessert werden. Das bedeutet einen Gewinn an Stromverstärkung im Vergleich zu einem Homobipolartransistor.

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Diplomarbeit Zusammenfassung

Erklärung

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Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig und nur unter Verwendung der angegebenen Literatur und Hilfsmittel angefertigt habe.

Danksagung

Ich bedanke mich vor allem bei Frau Prof.Dr.-Ing. habil. D. Schipanski und meinem Betreuer, Herrn Dipl.-Ing. M. Roßberg, für die praktische und theoretische Unterstützung beim Zustandekommen dieser Arbeit.

Weiterer Dank gilt allen Mitarbeitern des Fachgebietes Festkörperelektronik, die es mir ermöglichten, die Bearbeitung des Themas in einer guten Arbeitsplatzatmosphäre durchzuführen.

Michael Leidig

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Diplomarbeit Zusammenfassung

Zusammenfassung

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7 Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wurde ein Modellkonzept zur dynamischen Simulation überprüft, verbessert und erprobt. Als Grundlage des Modellkonzepts diente ein Verfahren zur eindimensionalen dynamischen Simulation. Dieses Modellkonzept wurde in (1) versucht umzusetzen, dabei traten jedoch Probleme auf die es nötig machten das Problem neu zu diskutieren. Die Ideen zur Aufstellung des dynamischen Modells basieren auf der Sinussoidal Steady- State Analyse (2).

Dabei wurden Ausdrücke zur Beschreibung des Basisstromes iB und des Kollektorstromes iC abgeleitet, die zur Berechnung der komplexen y-Parameter notwendig sind. Des weiteren wurden spezielle Randbedingungen an der Basis und am Kollektor angenommen und in den Devicesimulator HETRA implementiert.

Berechnet wurde ein Satz y-Parameter, der mit gemessenen y-Parametern verglichen wurde. Dieser Vergleich ist in den Abbildungen 6 bis 13 graphisch dargestellt. Die Parameter y11, y21 und y22 zeigen, daß es mit dem am Anfang vorgestellten und implementierten Modellapparat möglich ist, reale Transistorstrukturen zu beschreiben. Die Ursachen der Abweichung bei dem Parameter y12 sind bekannt und bilden somit einen Anknüpfungspunkt für weitere Untersuchungen. Anschließend wurde mit dem erstellten Algorithmus eine Betrachtung zu Strategien der Gittererzeugung durchgeführt.

Diese Berechnungen haben hauptsächlich gezeigt, daß die Einflüsse des Diskretisierungsgitters besonders bei hohen Frequenzen zu prozentualen Abweichungen bis 10% führen können. In der Arbeit wurden Möglichkeiten, mit Hilfe der berechneten Werte das Bauelement eingehender zu beschreiben, aufgezeigt. Hinweise zur zur Verbesserung des vorgestellten Modells wurden getroffen.

(1) Tschagaljan, „Implementierung von Kleinsignalmodellen in einen Bauelementesimulator“, Diplomarbeit, Technische Hochschule Ilmenau, 1992 (2) Laux, „Techniques for small-signal analysis of semiconductor devices“, IEEE Trans. on Elektron Devices, vol. ED-32, no. 10, Oct. 1985

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Diplomarbeit Modellkonzept

Iterationsalgorithmus

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5.3 Der Iterationsalgorithmus

Diese 3(k-2) diskretisierten Grundgleichungen ((5.2.1)-(5.2.3)), wobei k die Anzahl der Gitterpunkte ist, werden mittels eines Iterationsalgorithmus gelöst und dazu in die folgende Form gebracht:

0 = fl,ii-1ni-1pi-1inipi, Ψi+1ni+1pi+1) (5.3.1)


l = 1 für die Poissongleichung,

l = 2 für die Kontinuitätsgleichung der Elektonen,

l = 3 für die Kontinuitätsgleichung der Löcher.

Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt nach dem Newton- Raphson- Verfahren. An dieser Stelle erfolgt nur eine Darstellung der Grundzüge dieser Methode. Das Verfahren ist in [19] ausführlich beschrieben.

Entwickelt man Gleichung (5.3.1) in eine Taylorreihe und bricht diese Entwicklung nach dem linearen Glied ab, so erhält man:

Taylorreihe

(A)DC – Jacobi-Matrix,

der Index DC soll verdeutlichen das es sich um das Gleichungssystem für den statischen Fall handelt. Mit:

Gleichungssystem für den statischen Fall


Ψ- Potential,

φn – Quasifermipotential der Elektronen,

φp – Quasifermipotential der Löcher.

Nachfolgend ist der Aufbau der Jacobi-Matrix dargestellt:

Aufbau der Jacobi-Matrix

Die Funktionalmatrix besteht aus einer Hauptdiagonalen h und zwei Nebendiagonalen p, s. Derartige Gleichungssysteme erlauben es, den Rechenaufwand zum Bestimmen der Unbekannten erheblich zu verringern. Die allgemeine i-te Gleichung enthält nur die Unbekannten Δφi-1, Δφi und Δφi+1.

Der Lösungsalgorithmus

Selbst große tridiagonale Gleichungssysteme lassen sich mit dem Gaußschen Algorithmus in vertretbarer Zeit lösen. Weitergehende Ausführungen zum Lösungsalgorithmus sind in der Literatur (1) zu finden.

Die Elemente der Hauptdiagonale sind die Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt nach dem jeweiligen Potential:

Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt
Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt
Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt

(1) H.R. Schwarz, „Numerische Mathematik“, Stuttgart, Teubner Verl., 1985

Die Elemente p12, p13, p23, p32, s12, s13, s23 und s32 sind gleich Null, da in der Funktionalmatrix nur die Elemente besetzt sind, die partielle Ableitungen nach dem zentralen oder den beiden Nachbarpunkten besitzen.

Man beginnt bei der Berechnung mit einem Startvektor, dessen Elemente aus der Dotierung (1) oder aus der Lösung für einen anderen Arbeitspunkt bestimmt werden können. Man setzt den Startvektor in das Gleichungssystem (5.3.2) ein und stellt es nach dem Korrekturvektor ΔφDC um. Anschließend wird dieser Korrekturvektor zur Startlösung addiert.

Korrekturvektor zur Startlösung addiert

Φ00n0p0) – Startvektor,

Φ0 (m+1) – verbesserte Lösung,

ΔΦDC – Korrekturvektor,

m – Iterationsschritt.

Auf diesem Weg erhält man eine verbesserte Lösung, mit Hilfe derer man das ursprüngliche Gleichungssystem (5.3.1) erneut lösen kann. Dabei erhält man wieder einen Korrekturvektor. Wiederholt wird dieser Vorgang solange bis der Korrekturvektor einem Abbruchkriterium (z.B. ε< 1×10-1) genügt.

(1) M. Roßberg, „Kurzbeschreibung des Bauelementesimulators HETRA1“, Technische Hochschule Ilmenau, 1991