5.4 Der Kleinsignalfall
Im Kleinsignalfall bleibt die Poisson Gleichung unverändert. Die Kontinuitätsgleichungen erweitern sich jeweils um die hinzukommenden Terme dn/dt bzw. dp/dt. Das zu lösende Gleichungssystem erhält dann folgende Form:
(1) Poissongleichung
(2) Kontinuitätsgleichung der Elektronen
(3) Kontinuitätsgleichung der Löcher
Die drei Halbleitergrundgleichungen werden mit Hilfe der Laplacetransformation in den Frequenzbereich überführt. Die Form der diskretisierten Poissongleichung ändert sich nicht, die Potentiale und auch die Quasifermipotentiale werden dabei jedoch komplexe Größen. Im Kleinsignalfall ist es möglich, die Gleichungen (5.4.2) und (5.4.3) nach dem folgenden hier beschriebenen Schema zu linearisieren:
Kontinuitätsgleichung der Elektronen (im Zeitbereich)
Man kann die beiden ersten Terme wie folgt zusammenfassen und für kleine Amplituden von φAC linearisieren:
hierbei sind φAC(t) die Kleinsignalpotentiale an den einzelnen Gitterpunkten im dynamischen Fall. (A)DC stellt die Funktionalmatrix für den gelösten statischen Fall (Arbeitspunkt) dar. Der Index AC soll kenntlich machen, daß es sich hier um das Gleichungssystem im dynamischen Fall handelt. DC steht wiederum für den statischen Fall. Die Elektronendichte n wird als Funktion des Gleich- und Kleinsignalanteils dargestellt, wobei die Potentiale auf UT normiert sind.
nDCj – stationäre Ladungsträgerdichte
ergibt sich
Für kleine Signale kann man die Exponentialfunktion linearisieren: ex → 1+x
Nach der Anwendung der Laplacetransformation erhält man die linearisierte Kontinuitätsgleichung der Elektronen im Frequenzbereich:
Die Linearisierung der Kontinuitätsgleichung der Löcher wird analog durchgeführt:
Aus Gleichung (5.4.10) ergibt sich nach dem Ausklammern der Potentiale die Funktionalmatrix für den dynamischen Fall (A)AC.
Die Elemente dieser Matrix stehen in folgender Beziehung zu denen im stationären Fall,
(piAC)=(piDC), (siAC)=(siDC), (hiAC)= siehe Gleichung (5.4.13).
Berücksichtigt werden müssen außerdem die in die Berechnung eingehenden Randbedingungen basis- und kollektorseitig (Kap. 5.5). Wie im statischen Fall kann man das entstandene Gleichungssystem zusammenfassen zu:
Der erste Term auf der rechten Seite beinhaltet als Störfunktion die Randbedingungen für das Gleichungssystem. Die Gleichung (5.4.11) wurde in den Devicesimulator HETRA implementiert und nach dem beschriebenen Algorithmus gelöst. Bei der Berechnung des Gleichungssystems (5.4.11) wird der Lösungsalgorithmus einmal durchlaufen und als Ergebnis erhält man φAC als Kleinsignallösungsvektor (1). Der Unterschied der (A)AC– Matrix zur (A)DC – Matrix resultiert aus den Termen, die durch die transformierten Zeitableitungen entstehen. Diese Veränderungen treten nur bei den Hauptdiagonalelementen der Funktionalmatrix auf:
Der berechnete Kleinsignallösungsvektor φAC dient als der Ausgangspunkt der weiteren Betrachtungen des dynamischen Verhaltens von SiGe- Heterobipolartransistoren.
(1) Gokhale, “Numerical solutions for a one dimensional Silicon npn-transistor”, IEEE Trans. on Elektron. Devices, vol. ED-17, no. 8, Aug. 1970