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Diplomarbeit Modellkonzept

Berechnung der Stromverstärkung

5.6 Berechnung der Stromverstärkung

Bei der Berechnung der Stromverstärkung wurde bei der Implementierung in den Bauelementesimulator HETRA von der allgemein bekannten Beziehung ausgegangen:

Image

Die Berechnung des Basisstromes wird auf die Kontinuitätsgleichung der Löcher, in der die Stromdichte bereits enthalten ist, zurückgeführt:

Berechnung des Basisstromes

Im Frequenzbereich sieht die diskretisierte Form von (5.6.2) wie folgt aus:

diskretisierte Form

Diese Gleichung (5.6.3) wird linearisiert und das Störglied der Gleichung am Basiseinspeisungspunkt beschreibt die Basisstromdichte.

Gleichung (5.6.3) linearisiert

Multipliziert man die Basisstromdichte mit der für das jeweilige Dotierungsprofil gegebenen Emitterfläche erhält man den Basisstrom iB.

Bei der Berechnung der Kollektorstromdichte müssen zur vollständigen Beschreibung die Beträge der Elektronenstromdichte und der Löcherstromdichte berücksichtigt werden:

Kollektorstromdichte

mit

Kollektorstromdichte
Kollektorstromdichte

Bei der Berechnung der Elektronenstromdichte und der Löcherstromdichte mittels der aufgestellten Gleichungen (5.6.6) und (5.6.7) werden die Formeln (5.2.4) und (5.2.6) aus dem Kapitel 5.2 verwendet. Diese Formeln ((5.6.6) und (5.6.7)) wurden teilweise ergänzt und anschließend neu in den Bauelementesimulator HETRA implementiert. Den Kollektorstrom erhält man, indem man die Änderung der Kollektorstromdichte mit der für das jeweilige Dotierungsprofil gegebenen Emitterfläche multipliziert.

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Kleinsignalrandbedingungen

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5.5 Kleinsignalrandbedingungen

Bei der Berechnung des Eingangskurzschlußleitwertes (y11) und der Kurzschlußsteilheit (y21) werden die Kleinsignalpotentiale am Emitter und Kollektor Null gesetzt, so daß zwischen diesen beiden Punkten eine feste Gleichspannung existiert. Bei der Berechnung von y12 und y22 bleiben hingegen die Kleinsignalpotentiale an Basis und Emitter auf Null. Am eindimensionalen Modell erfolgt die Basispotentialeinprägung über das Quasifermipotential der Majoritätsträger φp. Aufgrund der Potentialeinprägung werden die Poissongleichung und die beiden Kontinuitätsgleichungen am Basiseinspeisungspunkt gestört. Die Kontinuitätsgleichung der Löcher (5.4.10) wird darüber hinaus zusätzlich am Punkt vor und nach dem Basiseinspeisungspunkt gestört. Die Basis erhält eine Kleinsignalspannung aufgeprägt. Als Quasifermipotential der Majoritätsträger wird ein Kleinsignalrandpotential von beliebiger Größe (lineares Gleichungssystem) verwendet,
z.B. uBE = 1xUT + 0xj, und in die Halbleitergrundgleichnungen (5.4.1) – (5.4.3) eingesetzt (1).

Halbleitergrundgleichnungen
Halbleitergrundgleichnungen
Halbleitergrundgleichnungen
Halbleitergrundgleichnungen
Halbleitergrundgleichnungen

mit φpiB = uBE

(1) Gokhale, „Numerical solutions for a one dimensional Silicon npn-transistor“, IEEE Trans. on Elektron. Devices, vol. ED-17, no. 8, Aug. 1970

Die Gleichungen (5.5.1) – (5.5.5) stellen die Randbedingungen am Basiseinspeisungspunkt für eine uBE Einspeisung dar. Sie wurden im Verlauf der Arbeit in den Simulator HETRA aufgenommen. f ist hierbei als eine Störfunktion für das Gleichungssystem (5.4.11) zu betrachten. Für die Berechnung der gesamten y – Parameter sind außerdem kollektorseitig Randbedingungen festzulegen.

Randbedingungen
Randbedingungen
Randbedingungen

Die Randbedingungen (5.5.6) – (5.5.8) beschreiben die Einprägung einer Kleinsignalspannung an der Kollektorseite des Modells.

Es handelt sich hierbei, ähnlich den Basisrandbedingungen um eine Störfunktion, die in das zu lösende Gleichungssystem eingesetzt wird. Voraussetzung ist hierbei die Annahme, dass es sich beim Kollektorkontakt um einen idealen ohmschen Kontakt im thermodynamischen Gleichgewicht handelt, für den folgende Beziehung gilt: Δφn = Δφp = Δψ = uCE. Mit Hilfe dieses vorgestellten und implementierten Modells lassen sich verschiedene Berechnungen im dynamischen Fall durchführen. Als Kleinsignalspannung am Kollektor kann ebenfalls ein Kleinsignalpotential beliebiger Größe verwendet werden.

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Vorbetrachtungen

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4 Grundbetrachtungen der Modellierungstechnik zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Halbleiterbauelementen

4.1 Vorbetrachtungen

Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten zur Beschreibung von Transportprozessen in Halbleitern. Dabei handelt es sich um folgende:

1) kinetische Transportmodelle;

– klassische Modelle,

– quantenmechanische Modelle,

2) Drift- Diffusionsmodelle.

Die klassischen Transportmodelle beruhen auf der Anwendung der Boltzmann- Transportgleichung in Mehrteilchensystemen. Die quantenmechanischen Modelle beruhen auf der Schrödinger-gleichung. Mit der fortschreitenden Miniaturisierung der Bauelemente und der Anwendung von Materialkombinationen, bei denen quantenmechanische Effekte eine zunehmende Rolle einnehmen, werden quantenmechanische Modelle schon in nächster Zeit an Bedeutung gewinnen. Die meistangewandte Gruppe von Modellierungstechniken zur Beschreibung von Bauelementen bilden in der gegenwärtigen Zeit die Drift- Diffusionsmodelle. Im Rahmen der Aufgabenstellung und der vorhandenen Möglichkeiten (Devicesimulator HETRA) werden die Betrachtungen mit dem Drift- Diffussionsmodell durchgeführt. Dabei erfolgt die numerische Lösung der Halbleitergrundgleichungen nach der Methode der finiten Differenzen (1). Das Drift- Diffusionsmodell ist Grundlage für den Devicesimulator HETRA (2) mit dessen Hilfe es möglich ist, umfangreiche statische Berechnungen durchzuführen. In Verbindung mit dem Bauelementesimulator HETRA lassen sich verschiedene Möglichkeiten bei der dynamischen Bauelementesimulation anwenden.

(1) H.R. Schwarz, „Numerische Mathematik“, Stuttgart, Teubner Verl., 1985

(2) M. Roßberg, „Kurzbeschreibung des Bauelementesimulators HETRA1“, Technische Hochschule Ilmenau, 1991

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Techniken der Kleinsignalanalyse

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4.2 Techniken der Kleinsignalanalyse von Halbleiterbauelementen

Die Erläuterung der Techniken zur Kleinsignalanalyse werden u.a. in (1) ausführlich vorgenommen. Zur Durchführung der Kleinsignaldevicesimulation lassen sich folgende Techniken für die Berechnung benutzen:

a) Fourier Decomposition of Transient Extractions,

b) Incremantal Charge Partitioning,

c) Sinossoidal Steady- State Analysis.

a) Fourier Decomposition of Transient Extractions

Im dynamischen Fall sind die Spannung und der Strom Funktionen der Zeit: I=I(t), V=V(t). Durch die Fouriertransformation der zeitabhängigen Halbleitergrundgleichungen wird die Zeitabhängigkeit der Differentialgleichungen in eine Frequenzabhängigkeit überführt. Hierbei muß man für die Berechnung komplexe Strom- und Spannungskoeffizienten einführen. Die beiden Größen Strom I und Spannung V stehen in folgender Relation zueinander:
wobei

Gleichungen 4.2.1
Gleichungen 4.2.2

(Ý) – Leitwertmatrix vom Typ (N×N)

N – Anzahl der diskreten Gitterpunkte

G – Leitwertmatrixelement

C – Kapazitätsmatrixelement

ω – Kreisfrequenz

(1) Laux, „Techniques for small-signal analysis of semiconductor devices“, IEEE Trans. on Elektron Devices, vol. ED-32, no. 10, Oct. 1985

Das jeweilige Matrixelement lautet:

Gleichungen 4.2.3

wobei i, j = 1, …, N und

Gleichungen 4.2.5

Daraus folgt für das einzelne Matrixelement:

Gleichungen 4.2.6

Von diesem Matrixelement aus läßt sich das Matrixleitwertelement Gij und das Kapazitätsmatrixelement Cij ermitteln.

Aus den Gleichungen (4.2.2) und (4.2.6) erhält man:

Gleichungen 4.2.7
Gleichungen 4.2.8

Mit diesen Ausgangsgleichungen ist man in der Lage, das dynamische Verhalten eines Bauelements zu beschreiben. Der Nachteil dieser Methode besteht insbesondere darin, daß die Genauigkeit der Lösung sehr stark von der Zeitdiskretisierung abhängig ist.

b) Incremantal Charge Partitioning

Diese Modelle untersuchen die Änderung der Ladungsverteilung ΔQi im diskretisierten Lösungsgebiet. Mittels der Ladungsverteilung kann man die Kapazitätsmatrixelemente Cij bestimmen, wobei die Ladungsänderung ΔQi in folgender Abhängigkeit zu dem Strom steht:

Gleichungen 4.2.9
Gleichungen 4.2.10

Der Nachteil dieser Methode ist, daß bei einem endlich kleinen Spannungssprung der an den Kontakten angelegt, wird ein Diskretisierungsfehler auftritt.

c) Sinossoidal Steady- State Analysis

Bei dieser Methode werden keine Zeit- bzw. Spannungsschritte bei der Lösung der nichtlinearen Halbleitergrundgleichungen vorgenommen und aus diesem Grund treten auch keine Fehler auf die mit deren Diskretisierung in Zusammenhang stehen. Durch eine geeignete Linearisierung der Funktionen im dynamischen Fall kann man mit vergleichsweise geringem Aufwand an Rechenzeit sehr genaue Ergebnisse erzielen. Aufgrund dieser Tatsache wird auf eine weitergehende Diskussion der beiden vorhergehenden Modelle verzichtet. Für weitere Informationen wird auf die Literatur (1), (2) und (3) verwiesen. In dieser Arbeit konzentriert sich die Aufmerksamkeit auf die Sinussoidal Steady- State Analysis. Die Aufstellung eines solchen Modellkonzepts wird im Kapitel 5 dargestellt.

(1) Reiser, „A two-dimensional numerical FET model for AC, DC and largesignal analysis“ IEEE Trans. on Elektron Devices, vol ED-20, pp. 35-45, 1973

(2) Ward and Dutton, „A charge oriented model for MOS transistor capacitances“, IEEE J. Solid-Stata Circuits, vol. SC-13, pp. 703-707, Oct. 1978

(3) Robinson et al., „A general four-terminal charging-current model for the insulated gate field effect transistors“, Solid-State Elektron., vol. 23, no. 5, pp. 405-410, May 1980

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Diplomarbeit Modellkonzept

Ausgangspunkt

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5 Das Modellkonzept

5.1 Ausgangspunkt

Als Ausgangspunkt für die theoretische Betrachtung im dynamischen Fall dient ein eindimensionales Modell zur Berechnung des statischen Verhaltens von SiGe- Heterobipolartransistoren. Deshalb wird zunächst das Modellkonzept für den statischen Fall näher beschrieben. Im Rahmen des Drift- Diffusionsmodells mußman im stationären Fall folgende Differentialgleichungen lösen:

(1) Poissongleichung

Poissongleichung

q-Elementarladung, ε – Dielektrizitätskonstante, Ψ – Potential, p -Löcherkonzentration, n – Elektronenkonzentration, N = ND – NA, ND – Donatorkonzentration, NA – Akzeptorkonzentration,

(2) Kontinuitätsgleichung der Elektronen

Kontinuitätsgleichung der Elektronen

jn – Elektronenstromdichte,
R – Nettorekombinationsrate,

(2) Kontinuitätsgleichung der Löcher

Kontinuitätsgleichung der Löcher

jp – Löcherstromdichte

Im Hinblick auf die rechentechnische Lösung dieses Differentialgleichungssystems ist die Einführung von Quasifermipotentialen für die Elektronen und die Löcher sinnvoll. Die Stromdichten erhalten folgende Form:

Stromdichte
Stromdichte

mit

Boltzmann- Näherung für Nichtentartung
Boltzmann- Näherung für Nichtentartung

(Boltzmann- Näherung für Nichtentartung)

ni – Eigenleitungsdichte,
φn, φp – Quasifermipotential der Elektronen bzw. der Löcher,
μn, μp – Beweglichkeit der Elektronen bzw. der Löcher,
Ut – Temperaturspannung (Ut = 25,8 mV bei T = 300 K).

Bei einem Heterobipolartransistor kann man vom Dotierungs- und Germaniumgehalt abhängige Eigenleitungsdichten für Elektronen und Löcher einführen, um Hochdotierungseffekte und insbesondere den Heteroübergang zu beschreiben:

Eigenleitungsdichten für Elektronen und Löcher

Θn,Θp – Bandparameter

Die Bandparameter Θn und Θp hängen nur vom Germaniumanteil ab. Sie beschreiben die relative Änderung der energetischen Lage von Leit- und Valenzbandkante und die Änderung der effektiven Zustandsdichten an den Bandkanten, bezogen auf Silizium ohne Germaniumanteil. Bei der Lösung des Gleichungssystems (5.1.1) – (5.1.3) muß man die Randbedingungen bei der Beschreibung des Basis-, Emitter- und Kollektoranschlusses beachten. Der Heteroübergang führt weiterhin zu einer ortsabhängigen Dielektrizitätskonstante ε. Diese Tatsache wirkt sich auf die Poissongleichung aus:

Poissongleichung

wobei ε jetzt eine Funktion des Germaniumanteils x und damit des Ortes ist,

Poissongleichung als eine Funktion des Germaniumanteils

Eine ausführliche Erläuterung und eine mathematische Beschreibung der oben genannten Punkte, die bei der Modellierung von SiGe- Heterobipolartransistoren berücksichtigt werden müssen, ist in (1) gegeben.

(1) M. Roßberg, „Kurzbeschreibung des Bauelementesimulators HETRA1“, Technische Hochschule Ilmenau, 1991

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Diplomarbeit Modellkonzept

Ortsdiskretisierung

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5 Das Modellkonzept

5.2 Ortsdiskretisierung

Die Poissongleichung und die beiden Kontinuitätsgleichungen werden zur numerischen Berechnung in Differenzengleichungen für diskrete Punkte in dem interessierenden Gebiet des Halbleiters überführt. Dazu wird das jeweilig betrachtete Gebiet des Halbleiters mit einem eindimensionalen, im allgemeinen nicht äquidistanten Gitter überzogen. Das Gitter ist an den Orten, an denen starke Änderungen der Potentiale zu erwarten sind hinreichend klein zu gestalten, um den numerischen Fehler so gering wie möglich zu halten. Die einzelnen Gitterpunkte und die Abstände zwischen den Gitterpunkten werden wie folgt numeriert:

Bild: Abstand zwischen den Gitterpunkten i - Nummer des Gitterpunktes

hi – Abstand zwischen den Gitterpunkten
i – Nummer des Gitterpunktes

Zur Diskretisierung der Poissongleichung ist ein parabolischer Ansatz für den Potentialverlauf durch drei benachbarte Punkte geeignet. Für die Diskretisierung der Kontinuitätsgleichungen ist ein parabolischer Lösungsansatz für die Quasifermipotentiale nicht geeignet, da hieraus ein exponentieller Verlauf der Stromdichte über dem Ort folgen würde. Das ist jedoch aus dem physikalischen Verständnis des Transistors, wonach die Stromdichte nur eine sehr schwache Ortsabhänigkeit aufweist, nicht vorteilhaft. Da hieraus ein großer Diskretisierungsfehler resultieren würde, ist ein anderer Weg zur Diskretisierung der beiden Kontinuitätsgleichungen sinnvoll.

Dieser Weg zur Diskretisierung der Kontinuitätsgleichungen ist ausführlich in (1) beschrieben worden.Die drei Grundgleichungen in ortsdiskretisierter Form für den statischen Fall sehen wie nachfolgend dargestellt aus:

(1) Poissongleichung

Poissongleichung

(2) Kontinuitätsgleichung der Elektronen

Kontinuitätsgleichung der Elektronen

(3) Kontinuitätsgleichung der Löcher

Kontinuitätsgleichung der Löcher

(1) Scharfetter and Gummel, „Large signal analysis of a silicon pead diode ocillator“, IEEE Trans. on Elektron Dev., vol. ED-16, 1969, S. 64-77

wobei

Gleichung 5.2.4
Gleichung 5.2.5
Gleichung 5.2.6
Image

mit

Eigenleitungsdichten
Beweglichkeiten

Die Eigenleitungsdichten nipi+1/2, nipi-1/2 und die Beweglichkeiten μni+1/2, μpi-1/2, μpi+1/2 werden analog ermittelt. Der Index i-1/2 bedeutet, daß die Stromdichten in dem Bereich zwischen den Gitterpunkten i-1 und i definiert ist. Dies gilt analog für den Index i+1/2.

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Diplomarbeit Modellkonzept

Iterationsalgorithmus

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5.3 Der Iterationsalgorithmus

Diese 3(k-2) diskretisierten Grundgleichungen ((5.2.1)-(5.2.3)), wobei k die Anzahl der Gitterpunkte ist, werden mittels eines Iterationsalgorithmus gelöst und dazu in die folgende Form gebracht:

0 = fl,ii-1ni-1pi-1inipi, Ψi+1ni+1pi+1) (5.3.1)


l = 1 für die Poissongleichung,

l = 2 für die Kontinuitätsgleichung der Elektonen,

l = 3 für die Kontinuitätsgleichung der Löcher.

Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt nach dem Newton- Raphson- Verfahren. An dieser Stelle erfolgt nur eine Darstellung der Grundzüge dieser Methode. Das Verfahren ist in [19] ausführlich beschrieben. Entwickelt man Gleichung (5.3.1) in eine Taylorreihe und bricht diese Entwicklung nach dem linearen Glied ab, so erhält man:

Taylorreihe

(A)DC – Jacobi-Matrix,

der Index DC soll verdeutlichen das es sich um das Gleichungssystem für den statischen Fall handelt. Mit:

Gleichungssystem für den statischen Fall


Ψ- Potential,

φn – Quasifermipotential der Elektronen,

φp – Quasifermipotential der Löcher.

Nachfolgend ist der Aufbau der Jacobi-Matrix dargestellt:

Aufbau der Jacobi-Matrix

Die Funktionalmatrix besteht aus einer Hauptdiagonalen h und zwei Nebendiagonalen p, s. Derartige Gleichungssysteme erlauben es, den Rechenaufwand zum Bestimmen der Unbekannten erheblich zu verringern. Die allgemeine i-te Gleichung enthält nur die Unbekannten Δφi-1, Δφi und Δφi+1.

Selbst große tridiagonale Gleichungssysteme lassen sich mit dem Gaußschen Algorithmus in vertretbarer Zeit lösen. Weitergehende Ausführungen zum Lösungsalgorithmus sind in der Literatur (1) zu finden. Die Elemente der Hauptdiagonale sind die Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt nach dem jeweiligen Potential:

Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt
Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt
Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt

(1) H.R. Schwarz, „Numerische Mathematik“, Stuttgart, Teubner Verl., 1985

Die Elemente p12, p13, p23, p32, s12, s13, s23 und s32 sind gleich Null, da in der Funktionalmatrix nur die Elemente besetzt sind, die partielle Ableitungen nach dem zentralen oder den beiden Nachbarpunkten besitzen.

Man beginnt bei der Berechnung mit einem Startvektor, dessen Elemente aus der Dotierung (1) oder aus der Lösung für einen anderen Arbeitspunkt bestimmt werden können. Man setzt den Startvektor in das Gleichungssystem (5.3.2) ein und stellt es nach dem Korrekturvektor ΔφDC um. Anschließend wird dieser Korrekturvektor zur Startlösung addiert.

Korrekturvektor zur Startlösung addiert

Φ00n0p0) – Startvektor,

Φ0 (m+1) – verbesserte Lösung,

ΔΦDC – Korrekturvektor,

m – Iterationsschritt.

Auf diesem Weg erhält man eine verbesserte Lösung, mit Hilfe derer man das ursprüngliche Gleichungssystem (5.3.1) erneut lösen kann. Dabei erhält man wieder einen Korrekturvektor. Wiederholt wird dieser Vorgang solange bis der Korrekturvektor einem Abbruchkriterium (z.B. ε< 1×10-1) genügt.

(1) M. Roßberg, „Kurzbeschreibung des Bauelementesimulators HETRA1“, Technische Hochschule Ilmenau, 1991

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Diplomarbeit Modellkonzept

Kleinsignalfall

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5.4 Der Kleinsignalfall

Im Kleinsignalfall bleibt die Poisson Gleichung unverändert. Die Kontinuitätsgleichungen erweitern sich jeweils um die hinzukommenden Terme dn/dt bzw. dp/dt. Das zu lösende Gleichungssystem erhält dann folgende Form:

(1) Poissongleichung

Poissongleichung

(2) Kontinuitätsgleichung der Elektronen

Kontinuitätsgleichung der Elektronen

(3) Kontinuitätsgleichung der Löcher

Kontinuitätsgleichung der Löcher

Die drei Halbleitergrundgleichungen werden mit Hilfe der Laplacetransformation in den Frequenzbereich überführt. Die Form der diskretisierten Poissongleichung ändert sich nicht, die Potentiale und auch die Quasifermipotentiale werden dabei jedoch komplexe Größen. Im Kleinsignalfall ist es möglich, die Gleichungen (5.4.2) und (5.4.3) nach dem folgenden hier beschriebenen Schema zu linearisieren:

Kontinuitätsgleichung der Elektronen (im Zeitbereich)

Kontinuitätsgleichung der Elektronen (im Zeitbereich)

Man kann die beiden ersten Terme wie folgt zusammenfassen und für kleine Amplituden von φAC linearisieren:

für kleine Amplituden

hierbei sind φAC(t) die Kleinsignalpotentiale an den einzelnen Gitterpunkten im dynamischen Fall. (A)DC stellt die Funktionalmatrix für den gelösten statischen Fall (Arbeitspunkt) dar. Der Index AC soll kenntlich machen, daß es sich hier um das Gleichungssystem im dynamischen Fall handelt. DC steht wiederum für den statischen Fall. Die Elektronendichte n wird als Funktion des Gleich- und Kleinsignalanteils dargestellt, wobei die Potentiale auf UT normiert sind.

Elektronendichte n wird als Funktion des Gleich- und Kleinsignalanteils

nDCj – stationäre Ladungsträgerdichte

ergibt sich

stationäre Ladungsträgerdichte

Für kleine Signale kann man die Exponentialfunktion linearisieren: ex → 1+x

Für kleine Signale kann man die Exponentialfunktion linearisieren

Nach der Anwendung der Laplacetransformation erhält man die linearisierte Kontinuitätsgleichung der Elektronen im Frequenzbereich:

linearisierte Kontinuitätsgleichung der Elektronen im Frequenzbereich

Die Linearisierung der Kontinuitätsgleichung der Löcher wird analog durchgeführt:

Funktionalmatrix

Aus Gleichung (5.4.10) ergibt sich nach dem Ausklammern der Potentiale die Funktionalmatrix für den dynamischen Fall (A)AC.

Gleichungssystem

Die Elemente dieser Matrix stehen in folgender Beziehung zu denen im stationären Fall,

(piAC)=(piDC), (siAC)=(siDC), (hiAC)= siehe Gleichung (5.4.13).

Berücksichtigt werden müssen außerdem die in die Berechnung eingehenden Randbedingungen basis- und kollektorseitig (Kap. 5.5). Wie im statischen Fall kann man das entstandene Gleichungssystem zusammenfassen zu:

Image

Der erste Term auf der rechten Seite beinhaltet als Störfunktion die Randbedingungen für das Gleichungssystem. Die Gleichung (5.4.11) wurde in den Devicesimulator HETRA implementiert und nach dem beschriebenen Algorithmus gelöst. Bei der Berechnung des Gleichungssystems (5.4.11) wird der Lösungsalgorithmus einmal durchlaufen und als Ergebnis erhält man φAC als Kleinsignallösungsvektor (1). Der Unterschied der (A)AC– Matrix zur (A)DC – Matrix resultiert aus den Termen, die durch die transformierten Zeitableitungen entstehen. Diese Veränderungen treten nur bei den Hauptdiagonalelementen der Funktionalmatrix auf:

Funktionalmatrix

Der berechnete Kleinsignallösungsvektor φAC dient als der Ausgangspunkt der weiteren Betrachtungen des dynamischen Verhaltens von SiGe- Heterobipolartransistoren.

(1) Gokhale, „Numerical solutions for a one dimensional Silicon npn-transistor“, IEEE Trans. on Elektron. Devices, vol. ED-17, no. 8, Aug. 1970

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Allgemeines Diplomarbeit

Gliederung

0 Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Aufbau und Wirkungsweise von Heterojunction Bipolartransistoren

2.1 Prinzipielle Wirkungsweise

2.2 Aufbau von Heterojunction Bipolartransistoren

3 Vorteile und Anwendungsgebiete

4 Grundbetrachtungen der Modellierungstechniken zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Halbleiterbauelementen

4.1 Vorbetrachtungen

4.2 Techniken der Kleinsignalanalyse von Halbleiterbauelementen

5 Modellkonzept

5.1 Ausgangspunkt

5.2 Ortsdiskretisierung

5.3 Iterationsalgorithmus

5.4 Kleinsignalfall

5.5 Kleinsignalrandbedingungen

5.6 Berechnung der Stromverstärkung

5.7 Berechnung der y-Parameter

5.8 Implementierung in den Devicesimulator HETRA

6 Ergebnisse

6.1 Ergebnisse der Kleinsignalmodellierung

6.2 Stategien zur Gittererzeugung

7 Zusammenfassung

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Einleitung

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1 Einleitung

Die Entwicklungen auf dem Gebiet der Festkörperforschung und auf dem Gebiet der Einführung Mikroelektronik stehen in enger Beziehung zueinander. Diese Wechselwirkung ist vor allem durch zwei Aspekte gekennzeichnet. Die Entwicklung der Technologie, insbesondere die Konzipierung von neuen Strukturierungs- und Schichtherstellungsverfahren, erlaubt die Herstellung von zunehmend komplizierteren Schichtsystemen. Diese werden als Objekt der modernen Festkörperforschung und der Halbleiterphysik angewandt. Ein wesentlicher Bestandteil der Entwicklung der Mikroelektronik ist die Schaffung von immer schnelleren und von der Funktionsweise her komplexeren Bauelementen.

Neben der fortschreitenden lateralen und vertikalen Miniaturisierung der Bauelemente werden neue Materialsysteme untersucht und verwendet, die einen oder mehrere Heteroübergänge enthalten. Bauelemente auf dieser Grundlage weisen in einigen Punkten andere Eigenschaften auf, als Bauelemente mit homogenen Halbleiterübergängen.

Neben den gitterangepaßten Heterostrukturen, wie z. B. AlxGa1-xAs/GaAs, bei denen der Unterschied der Gitterkonstanten der einzelnen Schichten nicht sehr groß ist, benutzt man in der letzten Zeit zunehmend verspannte Gittersysteme z.B. GaInAs/GaAs oder auch Si/SiGe als Ausgangsbasis für die Konzipierung von verschiedenen Bauelementen. Vor allem durch den Fortschritt auf dem Gebiet der verschiedenen Schichtherstellungsverfahren, z. B. Molekularstrahlepitaxie, RT-CVD und UHV-CVD wurde diese Tatsache in den letzten Jahren deutlicher.

Im Wettbewerb verschiedener Bauelementekonzepte um die Verkürzung von Schaltzeiten, Erhöhung von Verstärkungsfaktoren und Grenzfrequenzen haben sich die Heterojunction Bipolartransistoren (HBTs) als eine mögliche Alternative durchgesetzt. Sowohl gitterangepasste HBTs (AlxGa1-xAs/GaAs- HBT) als auch Si/SiGe- HBTs haben breite potentielle Möglichkeiten bei der Anwendung in der Mikrowellentechnik, der Mikro- und Optoelektronik.

In der hier vorliegenden Arbeit werden Si/SiGe- HBTs als Grundobjekt der theoretischen Untersuchung verwendet. Bei der theoretischen Untersuchung liegt der Schwerpunkt auf der Modellierung des dynamischen Verhaltens dieser Bauelemente. Diese Aufgabe ist im Hinblick auf die Anwendungsgebiete von Heterobipolartransistoren besonders aktuell.

In den Kapiteln 2 und 3 werden einige Grundaspekte der Wirkungsweise, des Aufbaus und der Anwendungsgebiete von HBTs zusammengefasst. Diese vorliegende Arbeit baut auf einer Diplomarbeit (1) auf, deren Thema die „Implementierung von Kleinsignalmodellen in einen Bauelementesimulator“ war. Die am Ende dieser Arbeit aufgezeigten Probleme wurden auf ihre Ursachen hin untersucht. In der vorliegenden Arbeit wurden die Ursachen genauer bestimmt und beseitigt (Kapitel 5.8).

Nach einer kurzen Übersicht der Möglichkeiten der theoretischen Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Halbleiterbauelementen im Kapitel 4 wird ein Modellkonzept zur Modellierung des Kleinsignalverhaltens von Si/SiGe- HBTs im Kapitel 5 vorgestellt. Im Kapitel 6 werden die Ergebnisse der Modellierung dargelegt, mit gemessenen Werten verglichen und diskutiert.

(1) Tschagaljan, „Implementierung von Kleinsignalmodellen in einen Bauelementesimulator“, Diplomarbeit, Technische Hochschule Ilmenau 1992