Kategorie: Diplomarbeit

Thema: Untersuchung der Strategien zur Erzeugung von Gittern für die zweidimensionale Devicesimulation vorgelegt von Leidig, Michael

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Diplomarbeit Modellkonzept

Implementierung in den Devicesimulator HETRA

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5.8 Implementierung in den Devicesimulator HETRA

In der Einleitung wurde darauf verwiesen, daß in (1) versucht wurde, einen Algorithmus der auf der Sinussoidal Steady- State Analysis basiert, in den Devicesimulator HETRA zu implementierten. Es wurde dabei ein FORTRAN- Programm zur Berechnung der Kleinsignalparameter y11 und y21 erstellt. FORTRAN erschien vorteilhaft, da hier mit dem standartmäßigen FORTRAN-COMPLEX Zahlentyp operiert werden konnte. Durch die Verwendung des FORTRAN-COMPLEX Zahlentypes war die Genauigkeit in der Zahlendarstellung auf sechs Mantissenstellen beschränkt.

Änderungen der Potentialdifferenzen zwischen zwei benachbarten Punkten des Differenzengitters, die in der sechsten und siebenten Stelle auftraten blieben unberücksichtigt. SiGe- HBTs mit hochdotierten Basen (NB ≥ 1019/cm3), in denen sehr niedrige Potentialdifferenzen zwischen benachbarten Punkten auftreten, konnten mit dem implementierten Modell aus (1) nicht berechnet werden. Es wurde vermutet, daß die Ursache hierfür das Diskretisierungsgitter ist. So müßte eine Vergrößerung des Gitterpunktabstandes die Potentialdifferenzen zwischen den Gitterpunkten erfaßbar machen.

Überprüfung

Nach einigen Berechnungen und verschiedenen Literaturstudien zeigte sich jedoch, daß mit einer Gittervergröberung die Diskretisierungsfehler stark zunehmen und somit der gewünschte Effekt nicht eintritt. Aus diesem Grunde wurde in dieser Arbeit zuerst mit einer Neuimplementierung eines vollständigen Modellkonzeptes zur Kleinsignalanalyse begonnen bei dem die oben angeführten Mängel beseitigt wurden. Anschließend werden die Einflüsse der jeweilig verwendeten Struktur des Differenzengitters auf die Ergebnisse der statischen Berechnung und der Kleinsignalanalyse untersucht (Kapitel 6.2).

Der in vorhergehenden Kapiteln beschriebene Formelapparat einschließlich der Randbedingungen für den dynamischen Fall wurde in ein C-Programm portiert. C bot sich an, da bereits Teile des Simulators HETRA in C geschrieben bzw. portiert wurden. Da es in der hier verwendeten Programmiersprache C keinen vorgesehenen Datentyp für komplexe Zahlen gab ist es aus Gründen des besseren programmtechnischen Umgangs vorteilhaft gewesen, eine Bibliothek mit speziellen Rechenoperationen für komplexe Zahlen anzulegen.

Als Wichtigstes beinhaltet diese Bibliothek eine Typdefinition für den Datentyp COMPLX. Dieser ist zusammengesetzt aus einem Realteil (.REAL) und einem Imaginärteil (.IMAG) die beide als DOUBLE definiert sind und zusammen eine komplexe Zahl darstellen. Auf diese Weise erhält man eine wesentlich höhere Genauigkeit des Zahlenformats (bis zu 15 Mantissenstellen möglich).

Weiterhin beinhaltet sind in der Bibliothek Rechenoperationen für komplexe Zahlen. Das sind neben den vier Grundrechenarten, die Exponentialfunktion sowie die Betragsbildung und Umwandlung in die Eulersche Form einer komplexen Zahl. Diese Komplexbibliothek wurde in den Bauelementesimulator HETRA aufgenommen. Aufgrund der höheren Genauigkeit in der Zahlendarstellung ist es nun möglich geworden, die Mängel aus (2) zu beseitigen.

Impementierung

Der Lösungsalgorithmus wurde komplett in den bestehenden Devicesimulator HETRA integriert. Für den Fall der Kleinsignalanalyse erfolgt zuerst die Einstellung eines stationären Arbeitspunktes. Im Anschluß daran beginnt die Aufstellung des Gleichungssystems für die dynamische Analyse.

Der Gaußalgorithmus der hier zum Lösen verwendet wird, wird einmal durchlaufen. Am Ende dieser Berechnungen erhält man den Kleinsignallösungsvektor ΦAC. Dann erfolgt die Berechnung des Basisstromes und des Kollektorstromes entsprechend dem im folgenden Kapitel beschriebenen Weg. Daran anschließend werden die Kleinsignalparameter (z.B. Leitwertparameter) für den eingestellten Arbeitspunkt berechnet und ausgegeben.

Für die graphische Darstellung wurde das Programm SPICE benutzt. Um die aus dem Simulator kommenden Daten dort weiter verarbeiten zu können, ist die Erstellung einer Konvertierungsroutine nötig gewesen. Die implementierten Routinen sind beliebig erweiterungsfähig ebenso alle erstellten Macros und Zusatzprogramme. Die aus den Berechnungen hervorgegangenen Werte sind in Kapitel 6.1 erläutert und graphisch dargestellt.

(1) Tschagaljan, “Implementierung von Kleinsignalmodellen in einen Bauelementesimulator”, Diplomarbeit, Technische Hochschule Ilmenau, 1992

(2) Tschagaljan, “Implementierung von Kleinsignalmodellen in einen Bauelementesimulator”, Diplomarbeit, Technische Hochschule Ilmenau, 1992

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Diplomarbeit Ergebnisse

Ergebnisse der Kleinsignalberechnungen

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6.1 Ergebnisse der Kleinsignalberechnungen

Die durchgeführten Berechnungen dienten als erstes zur Überprüfung des vorgestellten Modellkonzepts zur Kleinsignalanalyse. Darauffolgend wurde ein Vergleich mit an Proben gemessenen Werten vorgenommen. Diese wurden von der Ruhr Universität Bochum vorgenommen und lagen als Datenfile auf einer Diskette vor. Gemessen wurden die Werte an der Probe B 2136. Die Abbildungen 5 bis 7 zeigen in einer Gegenüberstellung von gemessenen und simulierten Werten die Ortskurven der Kleinsignalparameter y11, y21, y12 und y22. Die Ortskurvendarstellung ist vorteilhaft, um sich einen schnellen Überblick über die Frequenzabhängigkeit der Vierpolparameter verschaffen zu können.

Da die Messungen in Kollektorschaltung vorgenommen werden müssen, wurden die simulierten Werte in die entsprechende Schaltungsart umgerechnet. In einer vorher durchgeführten statischen Berechnung wurde ein statischer Arbeitspunkt eingestellt bei dem fT maximal wird. Als Basis- Kollektorspannung (UBC) wurde -1V eingestellt. Der dargestellte Frequenzbereich von Messung und Simulation erstreckt sich von 130 MHz bis 19,99 Ghz.

Der Parameter y11 (Abb. 6) spiegelt das Verhältnis von Basisstrom zur Änderung der Basis- Emitterspannung wieder. Betragsmäßig beschreibt dieser Parameter mit anwachsender Frequenz einen steigenden Verlauf. Der Schnittpunkt der Ortskurve mit der reellen Koordinatenachse gibt die Größe des am Eingang liegenden Basisbahnwiderstandes wieder. Die Kurzschlußsteilheit y21 (Abb.7) wird mit zunehmender Frequenz vom Betrag her kleiner. Vor allem die Tatsache, daß die Ladungsträgeränderung im Transistor der hohen Frequenz nicht mehr folgen kann, ist hiermit verbunden. Der Schnittpunkt der Ortskurve von y21 bei f≈0 wird maßgeblich durch den Emitterwiderstand RE bestimmt. Die Parameter y11 und y21 werden stets von der inneren Transistorwirkung bestimmt und durch äußere Elemente (Sperrschichtkapazität, parasitäre Widerstände und Kapazitäten) nur modifiziert.

Der Parameter y12 (Abb. 8) zeigt im oberen Frequenzbereich eigentlich überhaupt keine Übereinstimmung mit den gemessenen Werten, da dieser Parameter bei hohen Frequenzen jedoch von der Basis- Kollektorkapazität bestimmt wird, ist somit auch die große quantitative Abweichung im oberen Frequenzbereich erklärbar. Diese Rückkoppelkapazität besonders in den elektronisch inaktiven Teilen des Transistors ist bisher im Modell nicht vollständig berücksichtigt. Es handelt sich hierbei um die in Abbildung 1 dargestellten Kapazitäten die nicht unmittelbar unter dem elektronisch aktiven Teil des Emitters liegen. Eine Erfassung in einem eindimensionalen Modell ist durch den verteilten Charakter dieser parasitären Kapazität schwer möglich. Eine bessere Möglichkeit erhält man bei der Implementierung des vorgestellten Modells in einen 2D- Devicesimulator. Im Bild 9 ist Lage der Basis-Kollektorkapazität noch einmal schematisch dargestellt.

cCB – Basis- Kollektorkapazität

schematische Darstellung der Basis- Kollektorkapazität

Abb. 5 schematische Darstellung der Basis- Kollektorkapazität

Der Parameter y22 (Abb. 9) beschreibt das Verhältnis von Kollektorstrom zur Änderung der Emitter- Kollektorspannung und wird ebenso wie y12 bei sehr hohen Frequenzen zum großen Teil von parasitären Elementen bestimmt. Die Abbildungen 10 bis 13 sollen einen Vergleich der gemessenen und berechneten Parameter hinsichtlich ihres Betrages in Abhängigkeit von der Frequenz ermöglichen und die zuvor diskutierten Sachverhalte unterstreichen.

Ortskurve von y11

Abb. 6 Ortskurve von y11c bei Ucb = -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB= 31Ω ; RC = 4,5Ω; IE= 25 mA

Ortskurve von y21

Abb. 7 Ortskurve von y21c bei Ucb = -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB= 31Ω; RC = 4,5Ω; IE= 25 mA

Ortskurve von y12

Abb. 8 Ortskurve von y12c bei Ucb= -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB = 31Ω; RC = 4,5Ω; IE= 25 mA

Ortskurve von y22

Abb. 9 Ortskurve von y22c bei Ucb= -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB = 31Ω; RC = 4,5Ω; IE= 25 mA

Betrag von y11

Abb. 10 Betrag von y11 = f(f), Ucb= -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB = 31 ; RC = 4,5Ω; IE= 25 mA

Betrag von y12

Abb. 11 Betrag von y12 = f(f), Ucb= -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB= 31 ; RC = 4,5Ω; IE= 25 mA

Betrag von y21

Abb. 12 Betrag von y21 = f(f), Ucb= -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB = 31 ; RC = 4,5Ω; IE= 25 mA

Betrag von y22

Abb. 13 Betrag von y22 = f(f), Ucb= -1 V; f = 130 MHz … 20 GHz; RB = 31 ; RC = 4,5 ; IE= 25 mA

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Allgemeines Diplomarbeit

Einleitung

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1 Einleitung

Die Entwicklungen auf dem Gebiet der Festkörperforschung und auf dem Gebiet der Einführung Mikroelektronik stehen in enger Beziehung zueinander. Diese Wechselwirkung ist vor allem durch zwei Aspekte gekennzeichnet. Die Entwicklung der Technologie, insbesondere die Konzipierung von neuen Strukturierungs- und Schichtherstellungsverfahren, erlaubt die Herstellung von zunehmend komplizierteren Schichtsystemen. Diese werden als Objekt der modernen Festkörperforschung und der Halbleiterphysik angewandt. Ein wesentlicher Bestandteil der Entwicklung der Mikroelektronik ist die Schaffung von immer schnelleren und von der Funktionsweise her komplexeren Bauelementen.

Neben der fortschreitenden lateralen und vertikalen Miniaturisierung der Bauelemente werden neue Materialsysteme untersucht und verwendet, die einen oder mehrere Heteroübergänge enthalten. Bauelemente auf dieser Grundlage weisen in einigen Punkten andere Eigenschaften auf, als Bauelemente mit homogenen Halbleiterübergängen.

Neben den gitterangepaßten Heterostrukturen, wie z. B. AlxGa1-xAs/GaAs, bei denen der Unterschied der Gitterkonstanten der einzelnen Schichten nicht sehr groß ist, benutzt man in der letzten Zeit zunehmend verspannte Gittersysteme z.B. GaInAs/GaAs oder auch Si/SiGe als Ausgangsbasis für die Konzipierung von verschiedenen Bauelementen. Vor allem durch den Fortschritt auf dem Gebiet der verschiedenen Schichtherstellungsverfahren, z. B. Molekularstrahlepitaxie, RT-CVD und UHV-CVD wurde diese Tatsache in den letzten Jahren deutlicher.

Im Wettbewerb verschiedener Bauelementekonzepte um die Verkürzung von Schaltzeiten, Erhöhung von Verstärkungsfaktoren und Grenzfrequenzen haben sich die Heterojunction Bipolartransistoren (HBTs) als eine mögliche Alternative durchgesetzt. Sowohl gitterangepasste HBTs (AlxGa1-xAs/GaAs- HBT) als auch Si/SiGe- HBTs haben breite potentielle Möglichkeiten bei der Anwendung in der Mikrowellentechnik, der Mikro- und Optoelektronik.

In der hier vorliegenden Arbeit werden Si/SiGe- HBTs als Grundobjekt der theoretischen Untersuchung verwendet. Bei der theoretischen Untersuchung liegt der Schwerpunkt auf der Modellierung des dynamischen Verhaltens dieser Bauelemente. Diese Aufgabe ist im Hinblick auf die Anwendungsgebiete von Heterobipolartransistoren besonders aktuell.

In den Kapiteln 2 und 3 werden einige Grundaspekte der Wirkungsweise, des Aufbaus und der Anwendungsgebiete von HBTs zusammengefasst. Diese vorliegende Arbeit baut auf einer Diplomarbeit (1) auf, deren Thema die “Implementierung von Kleinsignalmodellen in einen Bauelementesimulator” war. Die am Ende dieser Arbeit aufgezeigten Probleme wurden auf ihre Ursachen hin untersucht. In der vorliegenden Arbeit wurden die Ursachen genauer bestimmt und beseitigt (Kapitel 5.8).

Nach einer kurzen Übersicht der Möglichkeiten der theoretischen Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Halbleiterbauelementen im Kapitel 4 wird ein Modellkonzept zur Modellierung des Kleinsignalverhaltens von Si/SiGe- HBTs im Kapitel 5 vorgestellt. Im Kapitel 6 werden die Ergebnisse der Modellierung dargelegt, mit gemessenen Werten verglichen und diskutiert.

(1) Tschagaljan, “Implementierung von Kleinsignalmodellen in einen Bauelementesimulator”, Diplomarbeit, Technische Hochschule Ilmenau 1992

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Allgemeines Diplomarbeit

Gliederung

Kurse Zertifizierung

0 Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Aufbau und Wirkungsweise von Heterojunction Bipolartransistoren

2.1 Prinzipielle Wirkungsweise

2.2 Aufbau von Heterojunction Bipolartransistoren

3 Vorteile und Anwendungsgebiete

4 Grundbetrachtungen der Modellierungstechniken zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Halbleiterbauelementen

4.1 Vorbetrachtungen

4.2 Techniken der Kleinsignalanalyse von Halbleiterbauelementen

5 Modellkonzept

5.1 Ausgangspunkt

5.2 Ortsdiskretisierung

5.3 Iterationsalgorithmus

5.4 Kleinsignalfall

5.5 Kleinsignalrandbedingungen

5.6 Berechnung der Stromverstärkung

5.7 Berechnung der y-Parameter

5.8 Implementierung in den Devicesimulator HETRA

6 Ergebnisse

6.1 Ergebnisse der Kleinsignalmodellierung

6.2 Stategien zur Gittererzeugung

7 Zusammenfassung

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Diplomarbeit Modellkonzept

Iterationsalgorithmus

Kurse Zertifizierung

5.3 Der Iterationsalgorithmus

Diese 3(k-2) diskretisierten Grundgleichungen ((5.2.1)-(5.2.3)), wobei k die Anzahl der Gitterpunkte ist, werden mittels eines Iterationsalgorithmus gelöst und dazu in die folgende Form gebracht:

0 = fl,i (Ψi-1,φni-1,φpi-1,Ψi,φni,φpi, Ψi+1,φni+1,φpi+1) (5.3.1)


l = 1 für die Poissongleichung,

l = 2 für die Kontinuitätsgleichung der Elektonen,

l = 3 für die Kontinuitätsgleichung der Löcher.

Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt nach dem Newton- Raphson- Verfahren. An dieser Stelle erfolgt nur eine Darstellung der Grundzüge dieser Methode. Das Verfahren ist in [19] ausführlich beschrieben.

Entwickelt man Gleichung (5.3.1) in eine Taylorreihe und bricht diese Entwicklung nach dem linearen Glied ab, so erhält man:

Taylorreihe

(A)DC – Jacobi-Matrix,

der Index DC soll verdeutlichen das es sich um das Gleichungssystem für den statischen Fall handelt. Mit:

Gleichungssystem für den statischen Fall


Ψ- Potential,

φn – Quasifermipotential der Elektronen,

φp – Quasifermipotential der Löcher.

Nachfolgend ist der Aufbau der Jacobi-Matrix dargestellt:

Aufbau der Jacobi-Matrix

Die Funktionalmatrix besteht aus einer Hauptdiagonalen h und zwei Nebendiagonalen p, s. Derartige Gleichungssysteme erlauben es, den Rechenaufwand zum Bestimmen der Unbekannten erheblich zu verringern. Die allgemeine i-te Gleichung enthält nur die Unbekannten Δφi-1, Δφi und Δφi+1.

Der Lösungsalgorithmus

Selbst große tridiagonale Gleichungssysteme lassen sich mit dem Gaußschen Algorithmus in vertretbarer Zeit lösen. Weitergehende Ausführungen zum Lösungsalgorithmus sind in der Literatur (1) zu finden.

Die Elemente der Hauptdiagonale sind die Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt nach dem jeweiligen Potential:

Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt
Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt
Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt

(1) H.R. Schwarz, “Numerische Mathematik”, Stuttgart, Teubner Verl., 1985

Die Elemente p12, p13, p23, p32, s12, s13, s23 und s32 sind gleich Null, da in der Funktionalmatrix nur die Elemente besetzt sind, die partielle Ableitungen nach dem zentralen oder den beiden Nachbarpunkten besitzen.

Man beginnt bei der Berechnung mit einem Startvektor, dessen Elemente aus der Dotierung (1) oder aus der Lösung für einen anderen Arbeitspunkt bestimmt werden können. Man setzt den Startvektor in das Gleichungssystem (5.3.2) ein und stellt es nach dem Korrekturvektor ΔφDC um. Anschließend wird dieser Korrekturvektor zur Startlösung addiert.

Korrekturvektor zur Startlösung addiert

Φ0(Ψ0,φn0,φp0) – Startvektor,

Φ0 (m+1) – verbesserte Lösung,

ΔΦDC – Korrekturvektor,

m – Iterationsschritt.

Auf diesem Weg erhält man eine verbesserte Lösung, mit Hilfe derer man das ursprüngliche Gleichungssystem (5.3.1) erneut lösen kann. Dabei erhält man wieder einen Korrekturvektor. Wiederholt wird dieser Vorgang solange bis der Korrekturvektor einem Abbruchkriterium (z.B. ε< 1×10-1) genügt.

(1) M. Roßberg, “Kurzbeschreibung des Bauelementesimulators HETRA1”, Technische Hochschule Ilmenau, 1991

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Diplomarbeit Zusammenfassung

Zusammenfassung

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7 Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wurde ein Modellkonzept zur dynamischen Simulation überprüft, verbessert und erprobt. Als Grundlage des Modellkonzepts diente ein Verfahren zur eindimensionalen dynamischen Simulation. Dieses Modellkonzept wurde in (1) versucht umzusetzen, dabei traten jedoch Probleme auf die es nötig machten das Problem neu zu diskutieren. Die Ideen zur Aufstellung des dynamischen Modells basieren auf der Sinussoidal Steady- State Analyse (2).

Dabei wurden Ausdrücke zur Beschreibung des Basisstromes iB und des Kollektorstromes iC abgeleitet, die zur Berechnung der komplexen y-Parameter notwendig sind. Des weiteren wurden spezielle Randbedingungen an der Basis und am Kollektor angenommen und in den Devicesimulator HETRA implementiert.

Berechnet wurde ein Satz y-Parameter, der mit gemessenen y-Parametern verglichen wurde. Dieser Vergleich ist in den Abbildungen 6 bis 13 graphisch dargestellt. Die Parameter y11, y21 und y22 zeigen, daß es mit dem am Anfang vorgestellten und implementierten Modellapparat möglich ist, reale Transistorstrukturen zu beschreiben. Die Ursachen der Abweichung bei dem Parameter y12 sind bekannt und bilden somit einen Anknüpfungspunkt für weitere Untersuchungen. Anschließend wurde mit dem erstellten Algorithmus eine Betrachtung zu Strategien der Gittererzeugung durchgeführt.

Diese Berechnungen haben hauptsächlich gezeigt, daß die Einflüsse des Diskretisierungsgitters besonders bei hohen Frequenzen zu prozentualen Abweichungen bis 10% führen können. In der Arbeit wurden Möglichkeiten, mit Hilfe der berechneten Werte das Bauelement eingehender zu beschreiben, aufgezeigt. Hinweise zur zur Verbesserung des vorgestellten Modells wurden getroffen.

(1) Tschagaljan, “Implementierung von Kleinsignalmodellen in einen Bauelementesimulator”, Diplomarbeit, Technische Hochschule Ilmenau, 1992 (2) Laux, “Techniques for small-signal analysis of semiconductor devices”, IEEE Trans. on Elektron Devices, vol. ED-32, no. 10, Oct. 1985

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Diplomarbeit Zusammenfassung

Erklärung

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Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig und nur unter Verwendung der angegebenen Literatur und Hilfsmittel angefertigt habe.

Danksagung

Ich bedanke mich vor allem bei Frau Prof.Dr.-Ing. habil. D. Schipanski und meinem Betreuer, Herrn Dipl.-Ing. M. Roßberg, für die praktische und theoretische Unterstützung beim Zustandekommen dieser Arbeit.

Weiterer Dank gilt allen Mitarbeitern des Fachgebietes Festkörperelektronik, die es mir ermöglichten, die Bearbeitung des Themas in einer guten Arbeitsplatzatmosphäre durchzuführen.

Michael Leidig

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Aufbau und Wirkungsweise Diplomarbeit

Aufbau von Heterojunction Bipolartransistoren

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2.2 Aufbau von Heterojunction Bipolartransistoren

In der Abbildung 1 ist ein typischer Aufbau eines SiGe-HBT schematisch dargestellt.

Der schematische Querschnitt eines SiGe-HBTs

Abb. 1 Der schematische Querschnitt eines SiGe-HBTs

Wie auch aus der Abbildung 1 zu ersehen ist, besteht die Basis aus einer hochdotierten SiGe- Schicht, während Emitter und Kollektor aus Si- Schichten bestehen. An einem vereinfachten Bändermodell eines np- Si/SiGe- Übergangs läßt sich die Wirkung des Heteroübergangs verdeutlichen.

Bändermodell eines np- Si/SiGe- Übergangs

Abb. 2 Bändermodell eines np- Si/SiGe- Übergangs

Wie aus der Abbildung 2 zu ersehen ist, besitzt die SiGe- Schicht einen geringeren Band-abstand als die Si- Schicht. Dies ist die Ursache für die Entstehung einer Bandgapdifferenz ΔEg, die dann entsprechend der Gleichung (2.1.8) die Stromverstärkung BN beeinflussen kann. Aus der Abbildung 2 ist ebenfalls zu erkennen, daß die Potentialbarriere, die die Löcher in ihrer Transportwirkung behindert größer ist, als die Potentialbarriere für die Elektronen. Die Werte für EC sind sehr klein und bisher zu ungenau, so daß allgemein ΔEg=ΔEV gesetzt wird. Im Vergleich zu einem konventionellen Bipolartransistor kann der Emitterwirkungsgrad eines SiGe- Heterobipolartransistors durch geeignete Dotierungsverhältnisse wesentlich verbessert werden. Das bedeutet einen Gewinn an Stromverstärkung im Vergleich zu einem Homobipolartransistor.

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Diplomarbeit Modellkonzept

Kleinsignalrandbedingungen

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5.5 Kleinsignalrandbedingungen

Bei der Berechnung des Eingangskurzschlußleitwertes (y11) und der Kurzschlußsteilheit (y21) werden die Kleinsignalpotentiale am Emitter und Kollektor Null gesetzt, so daß zwischen diesen beiden Punkten eine feste Gleichspannung existiert. Bei der Berechnung von y12 und y22 bleiben hingegen die Kleinsignalpotentiale an Basis und Emitter auf Null. Am eindimensionalen Modell erfolgt die Basispotentialeinprägung über das Quasifermipotential der Majoritätsträger φp. Aufgrund der Potentialeinprägung werden die Poissongleichung und die beiden Kontinuitätsgleichungen am Basiseinspeisungspunkt gestört. Die Kontinuitätsgleichung der Löcher (5.4.10) wird darüber hinaus zusätzlich am Punkt vor und nach dem Basiseinspeisungspunkt gestört. Die Basis erhält eine Kleinsignalspannung aufgeprägt. Als Quasifermipotential der Majoritätsträger wird ein Kleinsignalrandpotential von beliebiger Größe (lineares Gleichungssystem) verwendet,
z.B. uBE = 1xUT + 0xj, und in die Halbleitergrundgleichnungen (5.4.1) – (5.4.3) eingesetzt (1).

Halbleitergrundgleichnungen
Halbleitergrundgleichnungen
Halbleitergrundgleichnungen
Halbleitergrundgleichnungen
Halbleitergrundgleichnungen

mit φpiB = uBE

(1) Gokhale, “Numerical solutions for a one dimensional Silicon npn-transistor”, IEEE Trans. on Elektron. Devices, vol. ED-17, no. 8, Aug. 1970

Die Gleichungen (5.5.1) – (5.5.5) stellen die Randbedingungen am Basiseinspeisungspunkt für eine uBE Einspeisung dar. Sie wurden im Verlauf der Arbeit in den Simulator HETRA aufgenommen. f ist hierbei als eine Störfunktion für das Gleichungssystem (5.4.11) zu betrachten. Für die Berechnung der gesamten y – Parameter sind außerdem kollektorseitig Randbedingungen festzulegen.

Randbedingungen
Randbedingungen
Randbedingungen

Die Randbedingungen (5.5.6) – (5.5.8) beschreiben die Einprägung einer Kleinsignalspannung an der Kollektorseite des Modells.

Es handelt sich hierbei, ähnlich den Basisrandbedingungen um eine Störfunktion, die in das zu lösende Gleichungssystem eingesetzt wird. Voraussetzung ist hierbei die Annahme, dass es sich beim Kollektorkontakt um einen idealen ohmschen Kontakt im thermodynamischen Gleichgewicht handelt, für den folgende Beziehung gilt: Δφn = Δφp = Δψ = uCE. Mit Hilfe dieses vorgestellten und implementierten Modells lassen sich verschiedene Berechnungen im dynamischen Fall durchführen. Als Kleinsignalspannung am Kollektor kann ebenfalls ein Kleinsignalpotential beliebiger Größe verwendet werden.

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Diplomarbeit Modellkonzept

Kleinsignalfall

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5.4 Der Kleinsignalfall

Im Kleinsignalfall bleibt die Poisson Gleichung unverändert. Die Kontinuitätsgleichungen erweitern sich jeweils um die hinzukommenden Terme dn/dt bzw. dp/dt. Das zu lösende Gleichungssystem erhält dann folgende Form:

(1) Poissongleichung

Poissongleichung
Poissongleichung

(2) Kontinuitätsgleichung der Elektronen

Kontinuitätsgleichung der Elektronen

(3) Kontinuitätsgleichung der Löcher

Kontinuitätsgleichung der Löcher

Die drei Halbleitergrundgleichungen werden mit Hilfe der Laplacetransformation in den Frequenzbereich überführt. Die Form der diskretisierten Poissongleichung ändert sich nicht, die Potentiale und auch die Quasifermipotentiale werden dabei jedoch komplexe Größen. Im Kleinsignalfall ist es möglich, die Gleichungen (5.4.2) und (5.4.3) nach dem folgenden hier beschriebenen Schema zu linearisieren:

Kontinuitätsgleichung der Elektronen (im Zeitbereich)

Kontinuitätsgleichung der Elektronen (im Zeitbereich)

Man kann die beiden ersten Terme wie folgt zusammenfassen und für kleine Amplituden von φAC linearisieren:

für kleine Amplituden

hierbei sind φAC(t) die Kleinsignalpotentiale an den einzelnen Gitterpunkten im dynamischen Fall. (A)DC stellt die Funktionalmatrix für den gelösten statischen Fall (Arbeitspunkt) dar. Der Index AC soll kenntlich machen, daß es sich hier um das Gleichungssystem im dynamischen Fall handelt. DC steht wiederum für den statischen Fall. Die Elektronendichte n wird als Funktion des Gleich- und Kleinsignalanteils dargestellt, wobei die Potentiale auf UT normiert sind.

Elektronendichte n wird als Funktion des Gleich- und Kleinsignalanteils

nDCj – stationäre Ladungsträgerdichte

ergibt sich

stationäre Ladungsträgerdichte

Für kleine Signale kann man die Exponentialfunktion linearisieren: ex → 1+x

Für kleine Signale kann man die Exponentialfunktion linearisieren

Nach der Anwendung der Laplacetransformation erhält man die linearisierte Kontinuitätsgleichung der Elektronen im Frequenzbereich:

linearisierte Kontinuitätsgleichung der Elektronen im Frequenzbereich

Die Linearisierung der Kontinuitätsgleichung der Löcher wird analog durchgeführt:

Funktionalmatrix

Aus Gleichung (5.4.10) ergibt sich nach dem Ausklammern der Potentiale die Funktionalmatrix für den dynamischen Fall (A)AC.

Gleichungssystem

Die Elemente dieser Matrix stehen in folgender Beziehung zu denen im stationären Fall,

(piAC)=(piDC), (siAC)=(siDC), (hiAC)= siehe Gleichung (5.4.13).

Berücksichtigt werden müssen außerdem die in die Berechnung eingehenden Randbedingungen basis- und kollektorseitig (Kap. 5.5). Wie im statischen Fall kann man das entstandene Gleichungssystem zusammenfassen zu:

Image

Der erste Term auf der rechten Seite beinhaltet als Störfunktion die Randbedingungen für das Gleichungssystem. Die Gleichung (5.4.11) wurde in den Devicesimulator HETRA implementiert und nach dem beschriebenen Algorithmus gelöst. Bei der Berechnung des Gleichungssystems (5.4.11) wird der Lösungsalgorithmus einmal durchlaufen und als Ergebnis erhält man φAC als Kleinsignallösungsvektor (1). Der Unterschied der (A)AC– Matrix zur (A)DC – Matrix resultiert aus den Termen, die durch die transformierten Zeitableitungen entstehen. Diese Veränderungen treten nur bei den Hauptdiagonalelementen der Funktionalmatrix auf:

Funktionalmatrix

Der berechnete Kleinsignallösungsvektor φAC dient als der Ausgangspunkt der weiteren Betrachtungen des dynamischen Verhaltens von SiGe- Heterobipolartransistoren.

(1) Gokhale, “Numerical solutions for a one dimensional Silicon npn-transistor”, IEEE Trans. on Elektron. Devices, vol. ED-17, no. 8, Aug. 1970