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4.2 Techniken der Kleinsignalanalyse von Halbleiterbauelementen

Die Erläuterung der Techniken zur Kleinsignalanalyse werden u.a. in (1) ausführlich vorgenommen. Zur Durchführung der Kleinsignaldevicesimulation lassen sich folgende Techniken für die Berechnung benutzen:

a) Fourier Decomposition of Transient Extractions,

b) Incremantal Charge Partitioning,

c) Sinossoidal Steady- State Analysis.

a) Fourier Decomposition of Transient Extractions

Im dynamischen Fall sind die Spannung und der Strom Funktionen der Zeit: I=I(t), V=V(t). Durch die Fouriertransformation der zeitabhängigen Halbleitergrundgleichungen wird die Zeitabhängigkeit der Differentialgleichungen in eine Frequenzabhängigkeit überführt. Hierbei muß man für die Berechnung komplexe Strom- und Spannungskoeffizienten einführen. Die beiden Größen Strom I und Spannung V stehen in folgender Relation zueinander:
wobei

(Ý) – Leitwertmatrix vom Typ (N×N)

N – Anzahl der diskreten Gitterpunkte

G – Leitwertmatrixelement

C – Kapazitätsmatrixelement

ω – Kreisfrequenz

(1) Laux, “Techniques for small-signal analysis of semiconductor devices”, IEEE Trans. on Elektron Devices, vol. ED-32, no. 10, Oct. 1985

Das jeweilige Matrixelement lautet:

wobei i, j = 1, …, N und

Daraus folgt für das einzelne Matrixelement:

Von diesem Matrixelement aus läßt sich das Matrixleitwertelement G_ij und das Kapazitätsmatrixelement C_ij ermitteln.

Aus den Gleichungen (4.2.2) und (4.2.6) erhält man:

Mit diesen Ausgangsgleichungen ist man in der Lage, das dynamische Verhalten eines Bauelements zu beschreiben. Der Nachteil dieser Methode besteht insbesondere darin, daß die Genauigkeit der Lösung sehr stark von der Zeitdiskretisierung abhängig ist.

b) Incremantal Charge Partitioning

Diese Modelle untersuchen die Änderung der Ladungsverteilung ΔQ_i im diskretisierten Lösungsgebiet. Mittels der Ladungsverteilung kann man die Kapazitätsmatrixelemente C_ij bestimmen, wobei die Ladungsänderung ΔQ_i in folgender Abhängigkeit zu dem Strom steht:

Der Nachteil dieser Methode ist, daß bei einem endlich kleinen Spannungssprung der an den Kontakten angelegt, wird ein Diskretisierungsfehler auftritt.

c) Sinossoidal Steady- State Analysis

Bei dieser Methode werden keine Zeit- bzw. Spannungsschritte bei der Lösung der nichtlinearen Halbleitergrundgleichungen vorgenommen und aus diesem Grund treten auch keine Fehler auf die mit deren Diskretisierung in Zusammenhang stehen. Durch eine geeignete Linearisierung der Funktionen im dynamischen Fall kann man mit vergleichsweise geringem Aufwand an Rechenzeit sehr genaue Ergebnisse erzielen. Aufgrund dieser Tatsache wird auf eine weitergehende Diskussion der beiden vorhergehenden Modelle verzichtet. Für weitere Informationen wird auf die Literatur (1), (2) und (3) verwiesen. In dieser Arbeit konzentriert sich die Aufmerksamkeit auf die Sinussoidal Steady- State Analysis. Die Aufstellung eines solchen Modellkonzepts wird im Kapitel 5 dargestellt.

(1) Reiser, “A two-dimensional numerical FET model for AC, DC and largesignal analysis” IEEE Trans. on Elektron Devices, vol ED-20, pp. 35-45, 1973

(2) Ward and Dutton, “A charge oriented model for MOS transistor capacitances”, IEEE J. Solid-Stata Circuits, vol. SC-13, pp. 703-707, Oct. 1978

(3) Robinson et al., “A general four-terminal charging-current model for the insulated gate field effect transistors”, Solid-State Elektron., vol. 23, no. 5, pp. 405-410, May 1980

5 Das Modellkonzept

5.1 Ausgangspunkt

Als Ausgangspunkt für die theoretische Betrachtung im dynamischen Fall dient ein eindimensionales Modell zur Berechnung des statischen Verhaltens von SiGe- Heterobipolartransistoren. Deshalb wird zunächst das Modellkonzept für den statischen Fall näher beschrieben. Im Rahmen des Drift- Diffusionsmodells mußman im stationären Fall folgende Differentialgleichungen lösen:

(1) Poissongleichung

q-Elementarladung, ε – Dielektrizitätskonstante, Ψ – Potential, p -Löcherkonzentration, n – Elektronenkonzentration, N = N_D – N_A, N_D – Donatorkonzentration, N_A – Akzeptorkonzentration,

(2) Kontinuitätsgleichung der Elektronen

j_n – Elektronenstromdichte,
R – Nettorekombinationsrate,

(2) Kontinuitätsgleichung der Löcher

j_p – Löcherstromdichte

Im Hinblick auf die rechentechnische Lösung dieses Differentialgleichungssystems ist die Einführung von Quasifermipotentialen für die Elektronen und die Löcher sinnvoll. Die Stromdichten erhalten folgende Form:

mit

(Boltzmann- Näherung für Nichtentartung)

n_i – Eigenleitungsdichte,
φ_n, φ_p – Quasifermipotential der Elektronen bzw. der Löcher,
μ_n, μ_p – Beweglichkeit der Elektronen bzw. der Löcher,
U_t – Temperaturspannung (U_t = 25,8 mV bei T = 300 K).

Bei einem Heterobipolartransistor kann man vom Dotierungs- und Germaniumgehalt abhängige Eigenleitungsdichten für Elektronen und Löcher einführen, um Hochdotierungseffekte und insbesondere den Heteroübergang zu beschreiben:

Θn,Θp – Bandparameter

Die Bandparameter Θn und Θp hängen nur vom Germaniumanteil ab. Sie beschreiben die relative Änderung der energetischen Lage von Leit- und Valenzbandkante und die Änderung der effektiven Zustandsdichten an den Bandkanten, bezogen auf Silizium ohne Germaniumanteil. Bei der Lösung des Gleichungssystems (5.1.1) – (5.1.3) muß man die Randbedingungen bei der Beschreibung des Basis-, Emitter- und Kollektoranschlusses beachten. Der Heteroübergang führt weiterhin zu einer ortsabhängigen Dielektrizitätskonstante ε. Diese Tatsache wirkt sich auf die Poissongleichung aus:

wobei ε jetzt eine Funktion des Germaniumanteils x und damit des Ortes ist,

Eine ausführliche Erläuterung und eine mathematische Beschreibung der oben genannten Punkte, die bei der Modellierung von SiGe- Heterobipolartransistoren berücksichtigt werden müssen, ist in (1) gegeben.

_{(1) M. Roßberg, “Kurzbeschreibung des Bauelementesimulators HETRA1”, Technische Hochschule Ilmenau, 1991}

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