5 Das Modellkonzept
5.2 Ortsdiskretisierung
Die Poissongleichung und die beiden Kontinuitätsgleichungen werden zur numerischen Berechnung in Differenzengleichungen für diskrete Punkte in dem interessierenden Gebiet des Halbleiters überführt. Dazu wird das jeweilig betrachtete Gebiet des Halbleiters mit einem eindimensionalen, im allgemeinen nicht äquidistanten Gitter überzogen. Das Gitter ist an den Orten, an denen starke Änderungen der Potentiale zu erwarten sind hinreichend klein zu gestalten, um den numerischen Fehler so gering wie möglich zu halten. Die einzelnen Gitterpunkte und die Abstände zwischen den Gitterpunkten werden wie folgt numeriert:
hi – Abstand zwischen den Gitterpunkten
i – Nummer des Gitterpunktes
Zur Diskretisierung der Poissongleichung ist ein parabolischer Ansatz für den Potentialverlauf durch drei benachbarte Punkte geeignet. Für die Diskretisierung der Kontinuitätsgleichungen ist ein parabolischer Lösungsansatz für die Quasifermipotentiale nicht geeignet, da hieraus ein exponentieller Verlauf der Stromdichte über dem Ort folgen würde. Das ist jedoch aus dem physikalischen Verständnis des Transistors, wonach die Stromdichte nur eine sehr schwache Ortsabhänigkeit aufweist, nicht vorteilhaft. Da hieraus ein großer Diskretisierungsfehler resultieren würde, ist ein anderer Weg zur Diskretisierung der beiden Kontinuitätsgleichungen sinnvoll.
Dieser Weg zur Diskretisierung der Kontinuitätsgleichungen ist ausführlich in (1) beschrieben worden.Die drei Grundgleichungen in ortsdiskretisierter Form für den statischen Fall sehen wie nachfolgend dargestellt aus:
(1) Poissongleichung
(2) Kontinuitätsgleichung der Elektronen
(3) Kontinuitätsgleichung der Löcher
(1) Scharfetter and Gummel, “Large signal analysis of a silicon pead diode ocillator”, IEEE Trans. on Elektron Dev., vol. ED-16, 1969, S. 64-77
wobei
mit
Die Eigenleitungsdichten nipi+1/2, nipi-1/2 und die Beweglichkeiten μni+1/2, μpi-1/2, μpi+1/2 werden analog ermittelt. Der Index i-1/2 bedeutet, daß die Stromdichten in dem Bereich zwischen den Gitterpunkten i-1 und i definiert ist. Dies gilt analog für den Index i+1/2.
