Iterationsalgorithmus

5.3 Der Iterationsalgorithmus

Diese 3(k-2) diskretisierten Grundgleichungen ((5.2.1)-(5.2.3)), wobei k die Anzahl der Gitterpunkte ist, werden mittels eines Iterationsalgorithmus gelöst und dazu in die folgende Form gebracht:

0 = fl,ii-1ni-1pi-1inipi, Ψi+1ni+1pi+1) (5.3.1)

l = 1 für die Poissongleichung,
l = 2 für die Kontinuitätsgleichung der Elektonen,
l = 3 für die Kontinuitätsgleichung der Löcher.

Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt nach dem Newton- Raphson- Verfahren. An dieser Stelle erfolgt nur eine Darstellung der Grundzüge dieser Methode. Das Verfahren ist in [19] ausführlich beschrieben. Entwickelt man Gleichung (5.3.1) in eine Taylorreihe und bricht diese Entwicklung nach dem linearen Glied ab, so erhält man:

Taylorreihe

(A)DC - Jacobi-Matrix,

der Index DC soll verdeutlichen das es sich um das Gleichungssystem für den statischen Fall handelt. Mit:

Gleichungssystem für den statischen Fall

Ψ- Potential,
φn - Quasifermipotential der Elektronen,
φp - Quasifermipotential der Löcher.

Nachfolgend ist der Aufbau der Jacobi-Matrix dargestellt:

Aufbau der Jacobi-Matrix

Die Funktionalmatrix besteht aus einer Hauptdiagonalen h und zwei Nebendiagonalen p, s. Derartige Gleichungssysteme erlauben es, den Rechenaufwand zum Bestimmen der Unbekannten erheblich zu verringern. Die allgemeine i-te Gleichung enthält nur die Unbekannten Δφi-1, Δφi und Δφi+1.

Selbst große tridiagonale Gleichungssysteme lassen sich mit dem Gaußschen Algorithmus in vertretbarer Zeit lösen. Weitergehende Ausführungen zum Lösungsalgorithmus sind in der Literatur (1) zu finden. Die Elemente der Hauptdiagonale sind die Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt nach dem jeweiligen Potential:

Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt Ableitungen der drei diskretisierten Halbleitergrundgleichungen an dem jeweiligen Gitterpunkt (1) H.R. Schwarz, "Numerische Mathematik", Stuttgart, Teubner Verl., 1985

Die Elemente p12, p13, p23, p32, s12, s13, s23 und s32 sind gleich Null, da in der Funktionalmatrix nur die Elemente besetzt sind, die partielle Ableitungen nach dem zentralen oder den beiden Nachbarpunkten besitzen. Man beginnt bei der Berechnung mit einem Startvektor, dessen Elemente aus der Dotierung (1) oder aus der Lösung für einen anderen Arbeitspunkt bestimmt werden können. Man setzt den Startvektor in das Gleichungssystem (5.3.2) ein und stellt es nach dem Korrekturvektor ΔφDC um. Anschließend wird dieser Korrekturvektor zur Startlösung addiert.

Korrekturvektor zur Startlösung addiert

Φ00n0p0) - Startvektor,
Φ0 (m+1) - verbesserte Lösung,
ΔΦDC - Korrekturvektor,
m - Iterationsschritt.

Auf diesem Weg erhält man eine verbesserte Lösung, mit Hilfe derer man das ursprüngliche Gleichungssystem (5.3.1) erneut lösen kann. Dabei erhält man wieder einen Korrekturvektor. Wiederholt wird dieser Vorgang solange bis der Korrekturvektor einem Abbruchkriterium (z.B. ε< 1x10-1) genügt.

(1) M. Roßberg, "Kurzbeschreibung des Bauelementesimulators HETRA1", Technische Hochschule Ilmenau, 1991

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